Регулярний розподіл

Регуля́рне сіме́йство розпо́ділів в математичній статистиці — це розподіл, густина якого диференційована відносно параметру.

Нехай дано параметричне сімейство абсолютно неперервних розподілів ${\displaystyle \{\mathbb {P} _{\theta }\}_{\theta \in \Theta }}$, де ${\displaystyle \Theta \subset \mathbb {R} }$, так що ${\displaystyle f(x\mid \theta )}$ - густина ймовірності ${\displaystyle \mathbb {P} _{\theta }}$ для кожного ${\displaystyle \theta \in \Theta }$. Тоді це сімейство називається регулярним, якщо існує така множина ${\displaystyle D\subset \mathbb {R} }$, що ${\displaystyle \mathbb {P} _{\theta }(D)=1,\quad \forall \theta \in \Theta }$, і

${\displaystyle \forall x\in {D},\quad {\sqrt {f(x\mid \cdot )}}\in C^{1}(\Theta )}$,

тобто ${\displaystyle {\sqrt {f(x\mid \cdot )}}}$ неперервно диференційована відносно параметра ${\displaystyle \theta \in \Theta }$.

• Нехай ${\displaystyle \Theta =\{\theta >0\}}$, і ${\displaystyle \mathbb {P} _{\theta }=\mathrm {Exp} (\theta )}$ - експоненційний розподіл з параметром ${\displaystyle \theta }$. Тоді

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \theta }}{\sqrt {f(x\mid \theta )}}=\left({\frac {1}{2{\sqrt {\theta }}}}-{\frac {{\sqrt {\theta }}x}{2}}\right)e^{-\theta x/2}\in C(\Theta ).}$

Отже, сімейство розподілів регулярне.

• Нехай ${\displaystyle \Theta =\{\theta >0\}}$, і ${\displaystyle \mathbb {P} _{\theta }=\mathrm {U} [0,\theta ]}$ - неперервний рівномірний розподіл на відрізку ${\displaystyle [0,\theta ]}$. Тоді легко бачити, що ${\displaystyle D\supset [0,\infty )}$, і ${\displaystyle f(x\mid \cdot )}$ розривна у точці ${\displaystyle \theta =x}$. Таким чином сімейство розподілів нерегулярне.

• Гнєденко Б. В. Курс теорії ймовірностей. — Київ : ВПЦ Київський університет, 2010. — 464 с.
• Карташов М. В. Імовірність, процеси, статистика. — Київ : ВПЦ Київський університет, 2007. — 504 с.
• Гихман И. И., Скороход А. В., Ядренко М. В. Теория вероятностей и математическая статистика. — Київ : Вища школа, 1988. — 436 с.(рос.)

На цю статтю не посилаються інші статті Вікіпедії. Будь ласка розставте посилання відповідно до прийнятих рекомендацій.