Nhóm lũy linh

Nhóm lũy linh cùng với nhóm giải được là các cấu trúc cơ bản của đại số trừu tượng.

Tồn tại một nhóm ${\displaystyle G}$ là lũy linh nếu nó có các chuỗi tâm trên ổn định sau khi hữu hạn toàn bộ nhóm (tức là tồn tại một số tự nhiên ${\displaystyle c}$ sao cho ${\displaystyle Z_{c}(G)=G}$. Sau đây chúng ta định nghĩa ${\displaystyle Z_{i}(G)}$ bằng phương pháp quy nạp:

Tâm ${\displaystyle Z_{i}(G)}$ là tạo ảnh của tâm ${\displaystyle Z(G/Z_{i-1}(G))}$ dưới các ánh xạ thương từ ${\displaystyle G}$ đến ${\displaystyle G/Z_{i-1}(G)}$ và ${\displaystyle Z_{0}(G)}$ là nhóm con chuẩn tắc của ${\displaystyle G}$.

${\displaystyle G}$ là lũy linh nếu tồn tại một số tự nhiên ${\displaystyle c}$ sao cho ${\displaystyle [[[..[G,G],G],G],...G]}$ là chuẩn tắc với ${\displaystyle G}$ được nhắc lại ${\displaystyle c+1}$ lần. ${\displaystyle [,]}$ là giao hoán tử của các tập con của ${\displaystyle G}$.

${\displaystyle G}$ là lũy linh nếu tồn tại số tự nhiên ${\displaystyle c}$ và một dãy con hữu hạn:

${\displaystyle G=H_{1}\geq H_{2}\geq ...\geq H_{c+1}=\left\{e\right\}}$ và mỗi ${\displaystyle H_{i}}$ là nhóm con chuẩn tắc của ${\displaystyle G}$ và ${\displaystyle H_{i}/H_{i+1}}$ là tâm của ${\displaystyle G/H_{i+1}}$.

Tập ${\displaystyle \left\{(g,g):g\in G\right\}}$ là nhóm con của tích Descartes ${\displaystyle G\times G}$ với mọi ${\displaystyle c\in \mathbb {N} }$.

Tồn tại độ dài subnormal (không dịch được) ${\displaystyle c\in \mathbb {N} }$ sao cho ${\displaystyle [[...[[x_{1},x_{2}],x_{3}],...],x_{c+1}]}$ nhận giá trị của phần tử đơn vị với mọi ${\displaystyle x_{i}\in G}$.

Tồn tại số ${\displaystyle c}$ như trên sao cho mọi tích giao hoán tử bao gồm ${\displaystyle c}$ tích giao hoán tử.

Trong trường hợp ${\displaystyle c=3}$, biểu thức

${\displaystyle [[x_{1},x_{2}],[x_{3},x_{4}]],[[[x_{1},x_{2}],x_{3}],x_{4}]],[x_{1},[x_{2},[x_{3},x_{4}]]]}$,

${\displaystyle [[x_{1},[x_{2},x_{3}]],x_{4}],[x_{1},[[x_{2},x_{3}],x_{4}]}$ đều nhận giá trị của phần tử đơn vị.

Giống tích giao hoán tử chuẩn-trái chuẩn tắc nhưng tổng quát hơn.

• Nhóm chuẩn tắc là lũy linh trên lớp lũy linh cấp ${\displaystyle 0}$.
• Mọi nhóm Abel là lũy linh trên lớp lũy linh cấp ${\displaystyle 1}$.
• Nhóm D8 là lũy linh nhưng không Abel.
• Nhóm quaternion lũy linh nhưng không Abel.

• Giả tốt.
• Nếu ${\displaystyle G}$ lũy linh, nhóm con ${\displaystyle H}$ cũng lũy linh.
• Nếu ${\displaystyle G}$ lũy linh và có nhóm con bình thường ${\displaystyle H}$ thì nhóm thương ${\displaystyle G/H}$ cũng lũy linh.
• Nếu ${\displaystyle G_{i},i=1,2,...,n}$ lũy linh, tích Descartes ${\displaystyle \Pi _{i=1}^{n}G_{i}}$ cũng lũy linh.
• Nếu ${\displaystyle G}$ lũy linh và tồn tại các nhóm con bình thường ${\displaystyle N_{1},N_{2},...,N_{n}}$ thì tích trong của chúng cũng lũy linh.
• Nếu ${\displaystyle G_{1},G_{2}}$ là nhóm isoclinic và ${\displaystyle G_{1}}$ lũy linh, nhóm ${\displaystyle G_{2}}$ cũng lũy linh.

• Homology in group theory, by Urs Stammbach, Lecture Notes in Mathematics, Volume 359, Springer-Verlag, New York, 1973, vii+183 pp. review
• Suprunenko, D. A. (1976). Matrix Groups. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-1341-2.
• Hungerford, Thomas Gordon (1974). Algebra. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90518-9.
• Palmer, Theodore W. (1994). Banach algebras and the general theory of *-algebras. Cambridge, UK: Cambridge University Press. ISBN 0-521-36638-0.
• Friedrich Von Haeseler (2002). Automatic Sequences (De Gruyter Expositions in Mathematics, 36). Berlin: Walter de Gruyter. ISBN 3-11-015629-6.
• Isaacs, I. Martin (2008). Finite group theory. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-4344-3.
• Zassenhaus, Hans (1999). The theory of groups. New York: Dover Publications. ISBN 0-486-40922-8.
• Bechtell, Homer (1971). The theory of groups. Addison-Wesley.
• Tabachnikova, Olga; Smith, Geoff (2000). Topics in Group Theory (Springer Undergraduate Mathematics Series). Berlin: Springer. ISBN 1-85233-235-2.Quản lý CS1: nhiều tên: danh sách tác giả (liên kết)