八次方程

此條目翻譯品質不佳。 (2018年2月25日) 翻譯者可能不熟悉中文或原文語言，也可能使用了機器翻譯。請協助翻譯本條目或重新編寫，并注意避免翻译腔的问题。明顯拙劣的翻譯請改掛{{d|G13}}提交刪除。

八次方程^[1]是可以用下式表示的方程

${\displaystyle ax^{8}+bx^{7}+cx^{6}+dx^{5}+ex^{4}+fx^{3}+gx^{2}+hx+k=0,\,}$

其中a ≠ 0。

而八次函数是可以用下式表示的函数：

${\displaystyle f(x)=ax^{8}+bx^{7}+cx^{6}+dx^{5}+ex^{4}+fx^{3}+gx^{2}+hx+k,}$

换句话说，八次函数也就是次数为8次的多项式，若a = 0，则多项式最多只为是七次函数。

若令八次函数f(x) = 0，即可得到八次方程。

八次方程的系数a, b, c, d, e, f, g, h, k可以是整数、有理数、复数或是任何一种域的元素。

由于一个八次函数是由偶数多项式定义，当变元往正值或负值无穷时，它拥有一样的無窮的極限。如果首项系数a是正值，那么函数在两边增加到正无穷大；因此该函数具有全域極小值。同样地，如果a是负值，八次函数减少到负无穷大和具有全域極大值。八次函数的导数是七次函数。

透过阿贝尔-鲁菲尼定理，就其参数而言没有一般的代數式能解八次方程。然而，一些八次方的子类(sub-classes)有这样的公式。

普通的，具有正值k的形式的八次方程

${\displaystyle x^{8}=k}$

具有解

${\displaystyle x_{i}=k^{1/8}\omega _{i}\,,\quad i=1,\dots ,8,}$

其中${\displaystyle \omega _{i}}$是在复平面中第i个1的8次方根。

可以通过因式分解或在变量x⁴中

${\displaystyle ax^{8}+ex^{4}+k=0}$

应用二次方程来求解形式的八次方程。

${\displaystyle x^{4}=y}$

得出${\displaystyle ay^{2}+ey+k=0}$

${\displaystyle y_{1,2}={{-e\pm {\sqrt {e^{2}-4ak}}} \over {2a}}\,\!}$

${\displaystyle x_{1,2,3,4}={\sqrt[{4}]{y_{1}}}}$

${\displaystyle x_{5,6,7,8}={\sqrt[{4}]{y_{2}}}}$

可以使用变量x²中的四次方程

${\displaystyle ax^{8}+cx^{6}+ex^{4}+gx^{2}+k=0}$

令${\displaystyle x^{2}=y}$得出四次方程

${\displaystyle ay^{4}+cy^{3}+ey^{2}+gy+k=0}$

得出${\displaystyle y_{1},y_{2},y_{3},y_{4}}$

${\displaystyle x_{1,2}=\pm {\sqrt {y_{1}}}}$

${\displaystyle x_{3,4}=\pm {\sqrt {y_{2}}}}$

${\displaystyle x_{5,6}=\pm {\sqrt {y_{3}}}}$

${\displaystyle x_{7,8}=\pm {\sqrt {y_{4}}}}$

在某些情况下（如通过垂直线划分成四个相等面积的区域），一个三角形的垂直线的四分之一部分是一个八次方程的解。^[2]

• 三次方程
• 四次方程
• 五次方程

1. ^ James Cockle proposed the names "sexic", "septic", "octic", "nonic", and "decic" in 1851. (Mechanics Magazine, Vol. LV, p. 171 （页面存档备份，存于互联网档案馆）)
2. ^ http://forumgeom.fau.edu/FG2018volume18/FG201802.pdf （页面存档备份，存于互联网档案馆） Carl Eberhart, “Revisiting the quadrisection problem of Jacob Bernoulli”, Forum Geometricorum 18, 2018, pp. 7–16 (particularly pp. 14–15).