这条曲线关于点p 的卷绕数是2。 平面 上的闭曲线 关于某个点的卷绕数 （Winding number），是一个整数，它表示了曲线绕过该点的总次数。卷绕数与曲线的定向 有关，如果曲线依顺时针方向绕过某个点，则卷绕数是负数。
卷绕数在代数拓扑 中是基本的概念，在向量分析 、复分析 、几何拓扑 、微分几何 和物理学 中也扮演了重要的角色。
沿着红色曲线移动的物体绕着原点逆时针旋转了两圈。 假设在xy 平面上有一条有向的闭曲线。我们可以把曲线想象为某个物体的运动轨迹，运动方向就是曲线的方向。曲线的卷绕数就是物体逆时针绕过原点的总次数。
计算绕过原点的总次数时，逆时针方向的运动算正数，顺时针方向的运动算负数。例如，如果物体首先依逆时针方向绕过原点四次，然后再依顺时针方向绕过原点一次，那么曲线的卷绕数就是3。
利用这种方案，根本不绕过原点的曲线的卷绕数就是零，而顺时针绕过原点的曲线的卷绕数就是负数。因此，曲线的卷绕数可以是任何整数 。以下的图中显示了卷绕数为-2、-1、0、1、2和3的曲线：
⋯
{\displaystyle \cdots }
−2
−1
0
⋯
{\displaystyle \cdots }
1
2
3
x-y 平面上的曲线可以用参数方程 来定义：
x
=
x
(
t
)
,
y
=
y
(
t
)
(
0
≤
t
≤
1
)
.
{\displaystyle x=x(t)\quad ,\quad y=y(t)\qquad (0\leq t\leq 1).}
如果我们把参数t 视为时间，那么这个方程就描述了物体在t = 0t = 1函数 x (t )和y (t )是连续 的，运动的轨迹就是一条曲线。只要物体的位置于t = 0t = 1
我们可以用极坐标系 来定义这种曲线的卷绕数。假设曲线不经过原点，我们可以把参数方程写成极坐标的形式：
r
=
r
(
t
)
,
θ
=
θ
(
t
)
(
0
≤
t
≤
1
)
.
{\displaystyle r=r(t)\quad ,\quad \theta =\theta (t)\qquad (0\leq t\leq 1).}
函数r (t )和θ (t )必须是连续的， r > 0 。因为最初和最终的位置是相同的，所以θ (0)和θ (1)的差必须是2π 的整数倍。这个整数就是卷绕数：
卷绕数
=
θ
(
1
)
−
θ
(
0
)
2
π
{\displaystyle ={\frac {\theta (1)-\theta (0)}{2\pi }}}
这个公式定义了xy 平面上曲线关于原点的卷绕数。把坐标系平移，我们就可以把这个定义推广到关于任何点p 的卷绕数。
卷绕数在不同的数学领域中通常有不同的定义。以下的定义都与上面的定义等价。
在微分几何 中，通常假设参数方程是可微的（或至少分段可微的）。在这种情况下，极坐标系θ 与直角坐标系x 和y 有以下的关系：
d
θ
=
1
r
2
(
x
d
y
−
y
d
x
)
{\displaystyle d\theta ={\frac {1}{r^{2}}}\left(x\,dy-y\,dx\right)\quad }
r
2
=
x
2
+
y
2
.
{\displaystyle r^{2}=x^{2}+y^{2}.}
根据微积分基本定理 ，θ 的总变化等于dθ 的积分 。因此，我们可以把可微曲线的卷绕数表示为一个曲线积分 ：
卷绕数
=
1
2
π
∮
C
x
r
2
d
y
−
y
r
2
d
x
.
{\displaystyle ={\frac {1}{2\pi }}\oint _{C}\,{\frac {x}{r^{2}}}\,dy-{\frac {y}{r^{2}}}\,dx.}
在复分析 中，闭曲线C 的卷绕数可以表示为复数坐标z = x + iy z = re iθ
d
z
=
e
i
θ
d
r
+
i
r
e
i
θ
d
θ
{\displaystyle dz=e^{i\theta }dr+ire^{i\theta }d\theta \!\,}
因此：
d
z
z
=
d
r
r
+
i
d
θ
=
d
[
ln
r
]
+
i
d
θ
.
{\displaystyle {\frac {dz}{z}}\;=\;{\frac {dr}{r}}+i\,d\theta \;=\;d[\ln r]+i\,d\theta .}
ln(r )的总变化是零，因此dz ⁄ z 的积分等于i 乘以θ 的总变化。所以：
卷绕数
=
1
2
π
i
∮
C
d
z
z
.
{\displaystyle ={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {dz}{z}}.}
更加一般地，C 关于任何复数a 的卷绕数由以下的公式给出：
1
2
π
i
∮
C
d
z
z
−
a
.
{\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {dz}{z-a}}.}
这是柯西积分公式 的一个特例。卷绕数在复分析中扮演了一个十分重要的角色（例如在留数定理 的表述中）。
我们也可以考虑曲线关于它本身的卷绕数（又称为回转数，turning number ），也就是曲线的切向量旋转的次数。在右面的图中，曲线的回转数是4（或−4），那个小的回路也计算在内。这只对可微且光滑的曲线才有定义。参见：回转切线定理 。
Krantz, S. G. "The Index or Winding Number of a Curve about a Point." §4.4.4 in Handbook of Complex Variables. Boston, MA: Birkhäuser, pp. 49-50, 1999.
![{\displaystyle {\frac {dz}{z}}\;=\;{\frac {dr}{r}}+i\,d\theta \;=\;d[\ln r]+i\,d\theta .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7931f3e173554a085253596908ff7a886f997b9)
