布尔不等式(英語:Boole's inequality),由乔治·布尔提出,指对于全部事件的概率不大于单个事件的概率总和。
对于事件A1、A2、A3、......:
在测度论上,布尔不等式满足σ次可加性。
证明
布尔不等式可以用数学归纳法证明。
对于1个事件:
对于n个事件:
- .
使用马尔可夫不等式的证明
令是任意概率事件。是各种事件的发生次数的随机变量。显然有:
因为是非负随机变量,应用馬爾可夫不等式,取,有:
注意到
邦费罗尼不等式
布尔不等式可以推导出事件并集的上界和下界,其关系称为邦费罗尼不等式 。
定义:
对于奇数k:
对于偶数k:
参见
参考资料
- Bonferroni, Carlo E., Teoria statistica delle classi e calcolo delle probabilità, Pubbl. d. R. Ist. Super. di Sci. Econom. e Commerciali di Firenze, 1936, 8: 1–62, Zbl 0016.41103 (意大利语)
- Dohmen, Klaus, Improved Bonferroni Inequalities via Abstract Tubes. Inequalities and Identities of Inclusion–Exclusion Type, Lecture Notes in Mathematics 1826, Berlin: Springer-Verlag: viii+113, 2003, ISBN 3-540-20025-8, MR 2019293, Zbl 1026.05009
- Galambos, János; Simonelli, Italo, Bonferroni-Type Inequalities with Applications, Probability and Its Applications, New York: Springer-Verlag: x+269, 1996, ISBN 0-387-94776-0, MR 1402242, Zbl 0869.60014
- Galambos, János, Bonferroni inequalities, Annals of Probability, 1977, 5 (4): 577–581 [2014-01-12], JSTOR 2243081, MR 0448478, Zbl 0369.60018, doi:10.1214/aop/1176995765, (原始内容存档于2020-07-25)