截線定理

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截線定理（英語：Intercept theorem），是平面幾何中的基本定理之一。截線定理說明，平面上的一個三角形中，若在其中一條腰的中點作一條直線，與其底邊平行，則該線穿過另一條腰的中點。這定理可推廣到梯形上，以及一般化至任意分割比例的情況。截線定理與另外兩條幾何定理中點定理和等比定理有密切關係。

截線定理的最基本形式是在三角形上的應用。

圖中有三角形 ${\displaystyle ABC}$，作一條直線 ${\displaystyle DE}$ 與底邊 ${\displaystyle AB}$ 平行。

截線定理說明，若 ${\displaystyle AD=DC}$，則 ${\displaystyle BE=EC}$。

換句話說，${\displaystyle DE}$ 是三角形 ${\displaystyle ABC}$ 的中位線。

這定理能簡單推廣到梯形上應用。

圖中有梯形 ${\displaystyle FGIH}$，其中 ${\displaystyle FG\parallel HI}$。作一條直線 ${\displaystyle JK}$ 與上底 ${\displaystyle HI}$ 和下底 ${\displaystyle FG}$ 平行。

截線定理說明，若 ${\displaystyle FJ=JH}$，則 ${\displaystyle GK=KI}$。

同樣地，${\displaystyle JK}$ 是梯形 ${\displaystyle FGIH}$ 的中位線。

對於平行線將腰分割成任意比例的情形，一般化截線定理則給出，左右兩條腰的分割比例相等。

在上圖的三角形 ${\displaystyle ABC}$ 中，若 ${\displaystyle DE\parallel AB}$，則有 ${\displaystyle {\frac {AD}{DC}}={\frac {BE}{EC}}}$。

同樣地，在梯形 ${\displaystyle FGIH}$，若 ${\displaystyle JK\parallel FG\parallel HI}$，則有 ${\displaystyle {\frac {FJ}{JH}}={\frac {GK}{KI}}}$。

這定理能以相似三角形簡單證明。

考慮上圖的 ${\displaystyle \Delta ABC}$ 和 ${\displaystyle \Delta DEC}$。由於

• ${\displaystyle \angle ACB=\angle DCE}$ （公共角）
• ${\displaystyle \angle CAB=\angle CDE}$ （平行線的同位角）
• ${\displaystyle \angle CBA=\angle CED}$ （平行線的同位角）

所以${\displaystyle \Delta ABC\sim \Delta DEC}$。（等角）

由此可得 ${\displaystyle {\frac {AC}{DC}}={\frac {BC}{EC}}}$ 。（相似三角形的對應邊）

因此 ${\displaystyle {\frac {AD}{DC}}={\frac {BE}{EC}}}$。

證畢。

對於梯形的情況，考慮梯形 ${\displaystyle FGIH}$ ，在 ${\displaystyle I}$ 上作一直線，與 ${\displaystyle FH}$ 平行，並與 ${\displaystyle JK}$ 和 ${\displaystyle FG}$ 分別相交於 ${\displaystyle L}$ 和 ${\displaystyle M}$。

由定義可知，${\displaystyle FMLJ}$ 和 ${\displaystyle JLIH}$ 是平行四邊形。

因此 ${\displaystyle FJ=ML}$ 及 ${\displaystyle JH=LI}$。（平行四邊形的對邊）

上面已證明，由 ${\displaystyle JK\parallel FG}$，可知 ${\displaystyle {\frac {ML}{LI}}={\frac {GK}{KI}}}$。

代入可得 ${\displaystyle {\frac {FJ}{JH}}={\frac {GK}{KI}}}$。

證畢。

• 平面幾何
• 三角形
• 梯形
• 中位線
• 相似三角形
• 中點定理
• 等比定理
• 宇恆定理

• Schupp, H. Elementargeometrie. UTB Schöningh. 1977: 124–126. ISBN 3-506-99189-2 （德语）. 
• Leppig, Manfred. Lernstufen Mathematik. Girardet. 1981: 157–170. ISBN 3-7736-2005-5 （德语）. 
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维基共享资源上的相关多媒体资源：截線定理

• 截线定理（PlanetMath） （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Alexander Bogomolny: Thales' Theorems （页面存档备份，存于互联网档案馆） and in particular Thales' Theorem （页面存档备份，存于互联网档案馆） at Cut-the-Knot