混沌理论
數值r = 28，σ = 10，b = 8/3的勞侖次吸引子 圖形。 一个双杆摆 动画呈现混沌行为。 从开始略微不同的初始条件摆杆将导致一个完全不同的轨迹。双杆摆是具有混沌方案最简单的动力系统之一。 杜芬方程吸引子图列 蔡氏电路 吸引子 Rossler 吸引子 陳氏吸引子 混沌理论 （英語：Chaos theory ）是关于非线性系统 在一定参数条件下展现分岔 、周期运动与非周期运动相互纠缠，以至于通向某种非周期有序运动的理论。在耗散系统 和保守系统 中，混沌运动有不同表现，前者有吸引子 ，后者无（也称含混沌吸引子）。
从20世纪80年代中期到20世纪末，混沌理论迅速吸引了数学、物理、工程、生态学、经济学、气象学、情报学等诸多领域学者有关注，引发了全球混沌热。混沌，也写作浑沌（比如《庄子 》）。自然科学中讲的混沌运动指确定性系统中展示的一种類似随机 的行为或性态。确定性是指方程不含随机项的系统，也称动力系统 。典型的模型有單峰映象 迭代系统，洛伦兹 微分方程系统，若斯叻吸引子 ，杜芬方程 ，蔡氏电路 ，陳氏吸引子 等。为浑沌理论做出重要贡献的学者有庞加莱 、洛伦兹 、上田睆亮 费根堡姆 、约克 、李天岩 、斯美尔 、芒德勃罗 等。混沌理论向前可追溯到19世纪庞加莱 等人对天体力学的研究，他提出了同宿轨道 异宿轨道
混沌行为可以在许多自然系统中被观测到，例如天气和气候。[ 1] 数学模型 ，或者通过诸如递归图 庞加莱映射 等分析技术。
混沌理论是一种兼具质性思考与量化分析的方法，用以探讨动态系统中无法用单一的数据关系，而必须用整体，连续的数据关系才能加以解释及预测之行为。
“
一切事物的原始状态，都是一堆看似毫不关联的碎片，但是这种混沌状态结束后，这些无机的碎片会有机地汇集成一个整体。
”
混沌一词原指发现宇宙混乱状态的描述，古希腊哲学家对于宇宙之源起即持混沌论，主张宇宙是由混沌之初逐渐形成现今有条不紊的世界。在井然有序的宇宙中，科学家经过长期的探讨，逐一发现众多自然界中的规律，如大家熟知的万有引力 、杠杆原理 、相对论 等。这些自然规律都能用单一的数学公式加以描述，并可以依据此公式准确预测物体的行径。
近半世纪以来，科学家发现许多自然现象即使可以化为单纯的数学公式，但是其行径却无法加以预测。如气象学家愛德華·諾頓·勞侖次 发现简单的热对流 现象居然能引起令人无法想象的气象变化，产生所谓的“蝴蝶效应 ”。60年代，美国数学家史蒂芬·斯梅爾 发现某些物体的行径经过某种规则性变化之后，随后的发展并无一定的轨迹可循，呈现失序的混沌状态。
利用混沌游戏 制作的巴恩斯利蕨 。自然形态（蕨类、云、山脉等等）可通过迭代函数系统 （IFS）再现。 詹姆斯·克拉克·麦克斯韦 首先强调了“蝴蝶效应 ”，并被认为是最早讨论混沌理论的人之一，在1860年代到1870年代有相关研究。[ 2] [ 3] [ 4] 亨利·庞加莱 在研究三体问题 时发现，存在非周期性轨道，但既不会永远增加，也不会趋近于定点。[ 5] [ 6] [ 7] 雅克·阿达马 发表了一篇影响深远的研究报告，研究了在恒定负曲率表面上无摩擦滑动的自由粒子的混沌运动，形成“阿达马动力系统 ”。[ 8] 李雅普诺夫指数 。
混沌理论始于遍历理论 。后来，乔治·戴维·伯克霍夫 [ 9] 安德雷·柯尔莫哥洛夫 [ 10] [ 11] [ 12] 约翰·伊登斯尔·利特尔伍德 [ 13] 斯蒂芬·斯梅尔 [ 14] 微分方程 进行了研究。除斯梅尔外，他们都直接受物理学启发：伯克霍夫的三体问题、科尔莫戈罗夫的湍流和天文问题以及Cartwright和利特尔伍德的无线电工程问题。[來源請求]
混沌系统在20世纪上半叶就已经有了初步的认识，但混沌理论要到世纪中叶之后才正式成立。当时人们发现，流行的线性系统 理论无法解释某些实验（如逻辑斯蒂映射 ）的行为。混沌理论认为，测量不精确和简单的“噪声 ”都是研究系统的组成部分。1959年，伯里斯·奇里科夫 提出了哈密顿系统出现经典混沌的标准，即奇里科夫标准 。他将其解释了开放镜俘获（open mirror trap）中等离子体束缚 的一些试验结果，[ 15] [ 16] [ 17] [ 18] [ 19]
电子计算机极大推进了混沌理论的发展。混沌理论的大部分数学知识涉及简单公式的反复迭代 ，手工操作是不切实际的。计算机使重复计算变得切实可行，而数字和图像则使可视化成为可能。1961年11月27日，京都大学林千博实验室的研究生上田睆亮在进行模拟计算机实验时，注意到了他所谓“随机过渡现象”，然而他的导师并不认同他的结论，到1970年才允许他报告自己的发现。[ 20] [ 21]
飞机 机翼翼尖涡流 中的湍流 。对系统湍流产生的临界点研究对混沌理论非常重要。例如，苏联物理学家列夫·朗道 对临界点进行了分析，提出了湍流的朗道-霍普夫理论 。达维德·吕埃勒 和loris Takens则预言，流体湍流可能通过奇异吸引子产生。爱德华·诺顿·洛伦茨 是混沌理论的早期先驱，他对混沌的兴趣产生于1961年偶然从事的天气预报 工作。[ 22] 玛格丽特·汉密尔顿 [ 23] LGP-30 运行天气模拟。他们想再看一次数据，为了节省时间，在模拟过程的中间开始了模拟。他们输入了与原模拟中间条件对应的数据，并进行模拟。然而，这次预测与之前的结果完全不同。计算机以6位精度运行，打印输出将变量舍入到3位，当时的共识是这种微小差异不会产生实际影响；洛伦兹发现，初始条件的微小变化会导致长期结果的巨大变化。[ 24]
1963年，本华·曼德博 在研究信息论 时发现，许多现象（如股价 与电话 线路）中的噪声模式类似于康托尔集 ，是具有无限糙度和细节的点集。[ 25] [ 26] [ 27] 英国的海岸线有多长？统计自相似和分数维度 》（1967）指出海岸线的长度随测量仪器的尺度而变化，在所有尺度上都与自身相似，对于无穷小 的仪器来说，海岸线的长度是无限的。[ 28] 门格海绵 、谢尔宾斯基三角形 和科赫雪花 ，雪花无限长却包围着有限的空间，其分形维度约为 1.2619）。1982年，曼德博出版了《大自然的分形几何学 》，成为混沌理论的经典之作。[ 29]
1977年12月，纽约科学院 组织了第一次混沌研讨会，达维德·吕埃勒、Robert May、詹姆士·约克 （数学中“混沌”的引入者）、Robert Shaw及气象学家爱德华·洛伦兹出席了会议。次年Pierre Coullet和Charles Tresser发表了《自同态迭代与重整化群》（Itérations d'endomorphismes et groupe de renormalisation），米切尔·费根鲍姆 《一类非线性变换的定量普遍性》（Quantitative Universality for a Class of Nonlinear Transformations）在被审稿人拒稿了3年后终于发表了出来。[ 30] [ 31] 普遍性 ，从而混沌理论将可用于许多不同的现象。
1979年，Albert J. Libchaber在皮埃尔·奥昂贝格 于阿斯彭组织的一次研讨会上，介绍了对导致瑞利-贝纳德对流 系统混沌与湍流的分岔 级联的实验观察。1986年，他与米切尔·费根鲍姆共同被授予沃尔夫物理学奖 ，以表彰他们取得的鼓舞人心的成就。[ 32] 美国海军研究办公室 共同组织了第一次关于生物学与医学中的混沌的会议，会上Bernardo Huberman提出了精神分裂症 患者眼动 追踪功能障碍的数学模型。[ 33] 生理学 在病理心动周期 研究等混沌理论应用方面的创新。
1987年，Per Bak、汤超 和Kurt Wiesenfeld在《物理评论快报 》上发表论文，[ 34] 自组织临界性 （SOC），认为这是自然界中复杂 性产生的机制之一。
除了阿贝尔沙堆模型 等以实验为基础的研究方法外，有很多研究聚焦于显示标度不变性 的大规模自然与社会系统上。尽管这些方法并不总是得到领域专家的欢迎（至少最初如此），SOC还是成为了解释诸多自然现象的有力候选，如地震 （SOC之前，就已经知道地震是一种标度不变行为，如描述地震规模统计分布的古登堡-里克特定律 ，以及描述余震 频率的大森定律[ 35] 耀斑 、金融市场 等经济系统的波动（经济物理学 中常见SOC）、地貌形成、森林火灾 、山崩 、流行病 与演化 （SOC被援引为尼尔斯·艾崔奇 与史蒂芬·古尔德 提出的“间断平衡 ”依据的动力机制）。参考时间规模的无标度分布的含义，有人认为战争 也是SOC的例子。这些对SOC的研究有尝试建模（开发新模型，或据自然系统的具体情形调整现有模型）、广泛数据分析等，以确定自然缩放规律的存在和/或特征。
同年，詹姆斯·格雷克 出版了《混沌：创造一门新科学》（Chaos: Making a New Science），迅速成为畅销书，向一般大众介绍了混沌理论的一般原理及其历史。[ 36] 非线性系统 分析的名义出现。许多“混沌学家”引托马斯·库恩 《科学革命的结构 》（1962）提出的“典范转移 ”概念，称这一理论就是典范转移的例子。格雷克也持这种观点。
更便宜、更强大的计算机扩大了混沌理论的适用范围。混沌理论目前仍是很活跃的研究领域，[ 37] 数学 、拓扑学 、物理学 、[ 38] 社会系统 、[ 39] 人口模型 、生物学 、气象学 、天体物理学 、信息论 、计算神经科学 、流行病 危机管理 等等领域。[ 40] [ 41]
1963年美国 气象学家愛德華·勞侖次 提出混沌理论（Chaos），非线性系统具有的多样性和多尺度性。混沌理论解释了決定系统 可能产生隨機 结果。理论的最大的贡献是用简单的模型获得明确的非周期结果。在气象 、航空 及航天 等领域的研究裡有重大的作用。
洛伦兹教授在整个职业生涯中，共撰写了61篇研究论文，其中58篇为其独作。[ 42] [ 43] [ 44] [ 45]
x → 4 x (1 – x )y → (x + y) mod 1映射 ，展示了对初始x值的敏感性。其中，两个x 、y 序列随时间推移，从微小的初值差异发散出去。通常来说，“混沌”意味着“无序状态”。[ 46] [ 47] [ 48]
受初始狀態影響的敏感性 ，初始条件非常微小的变动也可以导致最终状态的巨大差别。
具有拓撲混合性 ；不严格地来说，就是系统会将初始空间的拓扑性质彻底打乱，使得任何初始状态变换到其他任何位置。
周期 軌道稠密 ，即在任何初始值附近都可以找到具有周期轨道的值。在离散时间情形下，对初始条件的敏感性对度量空间 上所有的连续 映射 都正确。[ 49]
若将注意力放在区间 上，那么第二条特性可以推导出另两条特性。[ 50] [ 51]
用于生成y 变量曲线图的洛伦兹方程。x 与z 的初始条件保持不变，但y 的初始条件在1.001 、1.0001 、1.00001 之间变化。
ρ ρ -->
{\displaystyle \rho }
σ σ -->
{\displaystyle \sigma }
β β -->
{\displaystyle \beta }
45.92 、16 、4 。从图中可以看出，即使是最细微的差别，也会在大约12秒后发生显著变化，这就是对初始条件敏感的一个例子。 对初始条件的敏感性 意味着，混沌系统中的每对极相近的点，会有大相径庭的轨迹；当前轨迹的任意微小变化都会导致未来行为的显著不同。[ 52]
这种性质通常称作“蝴蝶效应 ”，源于爱德华·洛伦兹 在美国科学促进会 上发表的《可预测性：巴西的蝴蝶扇动翅膀会引发德克萨斯州的龙卷风吗？》（1972）。[ 53]
正如洛伦兹在《混沌的本质》（1993）中所写：[ 54] [ 54] [ 55]
若从有限的系统信息开始（实际情况一般如此），则在一定时间后，系统就不再可预测了。这常见于天气预报，一般只能提前一周左右。[ 56]
李亚普诺夫指数 衡量了对初始条件的敏感度，其形式是与扰动的指数发散率。[ 57] 相空间 中两个无限接近的初值，初始分离度
δ δ -->
Z
0
{\displaystyle \delta \mathbf {Z} _{0}}
|
δ δ -->
Z
(
t
)
|
≈ ≈ -->
e
λ λ -->
t
|
δ δ -->
Z
0
|
,
{\displaystyle |\delta \mathbf {Z} (t)|\approx e^{\lambda t}|\delta \mathbf {Z} _{0}|,}
其中
t
{\displaystyle t}
λ λ -->
{\displaystyle \lambda }
[ 58]
除上述特性外，还有其他相关性质，例如测度论 混合性 （如遍历 理论）及K系统 的特性。[ 59]
混沌系统可能具有完全重复的演化变量值序列，从序列任一点出发都会产生周期性行为。但这种周期序列是排斥性的：若演化变量在序列之外，无论多么接近，都不会进入序列，事实上还会偏离。因此，在几乎所有 初始条件下，变量都会以非周期性方式混沌演化。
一组状态
[
x
,
y
]
{\displaystyle [x,y]}
x
k
+
1
=
4
x
k
(
1
− − -->
x
k
)
{\displaystyle x_{k+1}=4x_{k}(1-x_{k})}
y
{\displaystyle y}
y
k
+
1
=
x
k
+
y
k
{\displaystyle y_{k+1}=x_{k}+y_{k}}
x
k
+
y
k
<
1
{\displaystyle x_{k}+y_{k}<1}
y
k
+
1
=
x
k
+
y
k
− − -->
1
{\displaystyle y_{k+1}=x_{k}+y_{k}-1}
x → 4 x (1 – x )y → (x + y) mod 1拓扑混合（或较弱的拓扑传递）是指系统相空间 的任意给定区域或开集 ，随时间推移都将与任意给定区域重叠。这种“混合”的概念与标准直觉相对，染料 或液体的混合就是一种混沌系统。
混沌的流行说法往往忽略了拓扑混合，认为混沌只等同于对初态的敏感性；但这并不会导致混沌。例如，考虑只会将初值反复加倍的动力系统。它对各处的初值都敏感，因为任意一对邻近的点都会变得相距甚远；但由于没有混合，所以没有混沌。其实它的行为极其简单：除了0之外，所有点都趋于无穷大。
若对任意一对非空开集
U
,
V
⊂ ⊂ -->
X
{\displaystyle U,V\subset X}
∃ ∃ -->
k
>
0
{\displaystyle \exists k>0}
f
k
(
U
)
∩ ∩ -->
V
≠ ≠ -->
∅ ∅ -->
{\displaystyle f^{k}(U)\cap V\neq \emptyset }
f
:
X
→ → -->
X
{\displaystyle f:X\to X}
x 与V ，则在x 附近存在点y ，其在拓扑传递映射中的轨道穿过V 。这说明，不可能将系统分解为两个开集。[ 60]
不难看出，稠密轨道意味着拓扑传递性。伯克霍夫传递性定理指出，若X 是第二可数 完备空间 ，则拓扑传递性意味着X 中存在具有稠密轨道的稠密 点集。[ 61]
具有稠密 周期轨道的混沌系统意味着空间中的点都任意接近周期轨道。[ 60] x → 4 x (1 – x )逻辑斯蒂映射 是具有稠密周期轨道的最简单系统之一。例如，
5
− − -->
5
8
{\displaystyle {\tfrac {5-{\sqrt {5}}}{8}}}
5
+
5
8
{\displaystyle {\tfrac {5+{\sqrt {5}}}{8}}}
5
− − -->
5
8
{\displaystyle {\tfrac {5-{\sqrt {5}}}{8}}}
沙尔科夫斯基定理 指定的所有周期）也存在类似轨道。[ 62]
沙尔科夫斯基定理是Li & Yorke[ 63]
洛伦兹吸引子 显示出混沌行为。这两幅图显示了吸引子所占据的相空间区域内初始条件的敏感性。x → 4 x (1 – x )逻辑斯蒂映射 之类的动力系统在任何地方都是混沌的，但很多时候混沌仅见于相空间的子集。混沌发生在吸引子 上时，大量初始条件都将使轨道向混沌区域收敛。[ 64]
直观显示混沌吸引子的简单方法，是从吸引盆地的某点开始，绘制之后的轨道。由于拓扑传递，很可能产生整个最终吸引子的图像。右图由简单的洛伦兹天气系统3维模型产生，都显示了洛伦兹吸引子的大致形状，可能是最著名的混沌系统图示之一，因为它不仅早，也是最复杂的混沌系统图之一，产生了非常有趣的模式。只要稍加想象，就能看到像蝴蝶翅膀一样的图案。
不同于定点吸引子 与极限环 ，混沌系统产生的奇异吸引子 具有很强的细节性与复杂性。它出现在连续动力系统（如洛伦兹系统）和一些离散系统（如厄农映射 ）。其他离散动力系统有一种称为朱利亚集 的排斥结构，形成于定点吸引盆地之间的边界，可视为奇异吸引子。奇异吸引子具有分形 结构，可以计算分形维度 。
广义洛伦兹模型中的共存吸引子与非混沌吸引子。[ 65] [ 66] [ 67] 最近对洛伦兹模型[ 68] [ 69] [ 65] [ 66] [ 67]
逻辑斯蒂映射 x → r x (1 – x )分岔图 。垂直切片对应r 值的吸引子。随着r 增加，周期加倍，最终产生混沌。越暗的点被访问的频率越高。逻辑斯蒂映射 之类的离散混沌系统，无论维度如何，都会表现出奇异吸引子。具有抛物线最大值和费根鲍姆常数
δ δ -->
=
4.669201...
{\displaystyle \delta =4.669201...}
α α -->
=
2.502907...
{\displaystyle \alpha =2.502907...}
[ 70] [ 30] Tahn映射 上清晰可见：
x
→ → -->
G
x
(
1
− − -->
t
a
n
h
(
x
)
)
{\displaystyle x\rightarrow Gx(1-\mathrm {tanh} (x))}
x
{\displaystyle x}
G
{\displaystyle G}
[ 71]
[
0
,
∞ ∞ -->
)
{\displaystyle [0,\infty )}
[ 72] 分岔图 与逻辑斯蒂映射 的分岔图具有相同性质。
而连续 动力系统，庞加莱-本迪克松定理 表明只有在3维及更高维才会出现奇异吸引子。有限维线性系统永远不会出现混沌，非线性或无限维系统才可能出现混沌。
庞加莱-本迪克松定理 指出，二维微分方程具有非常规则的行为。下面讨论的洛伦兹吸引子由以下3个微分方程 的系统产生：
d
x
d
t
=
σ σ -->
y
− − -->
σ σ -->
x
,
d
y
d
t
=
ρ ρ -->
x
− − -->
x
z
− − -->
y
,
d
z
d
t
=
x
y
− − -->
β β -->
z
.
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}&=\sigma y-\sigma x,\\{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}&=\rho x-xz-y,\\{\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} t}}&=xy-\beta z.\end{aligned}}}
其中
x
{\displaystyle x}
y
{\displaystyle y}
z
{\displaystyle z}
系统状态 ，
t
{\displaystyle t}
σ σ -->
{\displaystyle \sigma }
ρ ρ -->
{\displaystyle \rho }
β β -->
{\displaystyle \beta }
参数 。右侧5个项是线性的，2个是二次项，共有7项。另一个著名的混沌吸引子由若斯叻方程 产生，7个项中只有1个非线性项。Sprott[ 73] [ 74] [ 75] 渐近 ，因此解表现良好。
庞加莱-本迪克松定理指出，欧氏平面上的连续动力系统不会是混沌的，非欧几何 的2维连续动力系统则有可能。[ 76] [自述来源 不过，只要是无限维线性系统，也可能出现混沌。[ 77] 泛函分析 正在发展线性混沌理论。
上面优雅的三个常微分方程被称为3维洛伦兹模型。[ 78] [ 79] [ 80] [ 65] [ 66]
耦合离散映射的直接推广[ 81]
ψ ψ -->
n
+
1
(
r
→ → -->
,
t
)
=
∫ ∫ -->
K
(
r
→ → -->
− − -->
r
→ → -->
,
,
t
)
f
[
ψ ψ -->
n
(
r
→ → -->
,
,
t
)
]
d
r
→ → -->
,
{\displaystyle \psi _{n+1}({\vec {r}},t)=\int K({\vec {r}}-{\vec {r}}^{,},t)f[\psi _{n}({\vec {r}}^{,},t)]d{\vec {r}}^{,}}
其中的核
K
(
r
→ → -->
− − -->
r
→ → -->
,
,
t
)
{\displaystyle K({\vec {r}}-{\vec {r}}^{,},t)}
[ 82]
f
[
ψ ψ -->
n
(
r
→ → -->
,
t
)
]
{\displaystyle f[\psi _{n}({\vec {r}},t)]}
ψ ψ -->
→ → -->
G
ψ ψ -->
[
1
− − -->
tanh
-->
(
ψ ψ -->
)
]
{\displaystyle \psi \rightarrow G\psi [1-\tanh(\psi )]}
逻辑斯蒂映射 或复映射 。复映射的例子是朱利亚集
f
[
ψ ψ -->
]
=
ψ ψ -->
2
{\displaystyle f[\psi ]=\psi ^{2}}
池田映射
ψ ψ -->
n
+
1
=
A
+
B
ψ ψ -->
n
e
i
(
|
ψ ψ -->
n
|
2
+
C
)
{\displaystyle \psi _{n+1}=A+B\psi _{n}e^{i(|\psi _{n}|^{2}+C)}}
λ λ -->
=
2
π π -->
/
k
{\displaystyle \lambda =2\pi /k}
L
=
c
t
{\displaystyle L=ct}
K
{\displaystyle K}
薛定谔方程 的格林函数形式：[ 83] [ 84]
K
(
r
→ → -->
− − -->
r
→ → -->
,
,
L
)
=
i
k
exp
-->
[
i
k
L
]
2
π π -->
L
exp
-->
[
i
k
|
r
→ → -->
− − -->
r
→ → -->
,
|
2
2
L
]
{\displaystyle K({\vec {r}}-{\vec {r}}^{,},L)={\frac {ik\exp[ikL]}{2\pi L}}\exp[{\frac {ik|{\vec {r}}-{\vec {r}}^{,}|^{2}}{2L}}]}
急动度 是位置向量 相对于时间的三阶导，因此微分方程的形式为
J
(
x
.
.
.
,
x
¨ ¨ -->
,
x
˙ ˙ -->
,
x
)
=
0
{\displaystyle J\left({\overset {...}{x}},{\ddot {x}},{\dot {x}},x\right)=0}
有时也被称为急动方程 。研究表明，急动方程等价于3个1阶普通非线性微分方程组，从某种意义上说是能产生混沌解的最小设置，激发了学界对急动系统的兴趣。涉及4阶及以上导数的系统相应地被称为超急动系统。[ 85]
急动系统的行为由急动方程决定，对部分急动方程，简单的电子电路就能模拟解，称作急动电路，其可能出现混沌行为。
洛伦兹吸引子和若斯叻吸引子 等著名混沌系统，传统上即描述为由3个1阶微分方程组成的系统，可以组合成单一的（相当复杂）急动方程。急动方程的另一个例子是：
d
3
x
d
t
3
+
A
d
2
x
d
t
2
+
d
x
d
t
− − -->
|
x
|
+
1
=
0.
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{3}x}{\mathrm {d} t^{3}}}+A{\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}+{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}-|x|+1=0.}
其中A 是可调参数。此方程在A =3/5时有一个混沌解，可用下面的急动电路实现；所需的非线性由2个二极管产生：
电路中，除
R
A
=
R
/
A
=
5
R
/
3
{\displaystyle R_{A}=R/A=5R/3}
1
/
2
π π -->
R
C
{\displaystyle 1/2\pi RC}
运算放大器 0的输出对应x变量，1的输出对应x的一阶导，2的输出对应二阶导。
类似电路只需要一个二极管[ 86] [ 87]
也可见蔡氏电路 ，是混沌真随机数发生器的基础之一。[ 88]
在适当条件下，混沌会自发演化为一种步调一致的模式。在藏本模型 中，有4个条件足以使混沌系统产生同步。例子如惠更斯 摆的耦合震荡、萤火虫、神经元 、千禧桥 共振、产生约瑟夫森效应 的大型阵列等等。[ 89]
织锦芋螺 外壳，与具有混沌行为的细胞自动机 “规则30 ”外观相似。[ 90] 混沌理論在許多科學 學科中得到廣泛應用，包括：數學 、生物學 、信息技術 、經濟學 [ 91] [ 92] [ 93] 化學 、生態學 [ 94] 工程學 [ 95] [ 96] 金融學 [ 97] [ 98] [ 99] [ 100] [ 101] 哲學 、物理學 [ 102] [ 103] [ 104] 政治學 [ 105] [ 106] 人口學 [ 107] 心理學 和機器人學 。多種系統的渾沌狀態在實驗室中得到觀察，包括電路 、激光 、流體 的動態，以及機械和電磁裝置。在自然中進行的有對天氣 、衛星 運動、天體磁場 、生態學 中的種群增長、神經元 中的動作電位和分子振動 的觀察。
混沌理论在密码学 中的应用已有多年。过去几十年中，混沌与非线性动力学已用于涉及数百种加密基元 ，涉及算法有图像加密 、哈希函数 、CSPRNG 、流密码 、数字水印 及隐写术 。[ 108] [ 109] [ 108] 对称密钥加密 即依赖于混沌理论模拟的混淆与扩散 。[ 110] DNA运算 与混沌理论相结合，提供了一种加密图像等信息的方法。[ 111] [ 112] [ 113] [ 114]
机器人学是最近受益于混沌理论的另一个领域。混沌理论主要用于预测建模 ，而非让机器人通过试错与环境互动。[ 115] 被动行走 的两足机器人也表现出了混沌动力。[ 116]
这一百多年，生物学家都在试图用人口模型 追踪不同物种的种群变化。大多数模型都是连续的，但最近在特定种群中，已经有混沌模型的实现。[ 117] 加拿大猞猁 模型的研究表明，种群增长存在混沌行为。[ 118] 生態學 中的洛特卡－沃爾泰拉方程 ，在其中顯示了受密度制約之下的種群增長如何引致混沌狀態。
水文学 之类的生态系统中也存在混沌现象，虽然其模型有不足之处，但通过混沌理论的视角观察数据，仍有很多值得学习的东西。[ 119] 胎心分娩力描记法 。胎儿监护需要一种微妙的平衡，要尽可能无创地获得精确信息。混沌建模可获得宫内缺氧 的更好模型。[ 120]
正如Perry指出的，理论生态学 中混沌时间序列 的建模 得益于约束条件。[ 121] :176,177 真实的混沌与模型特有的混沌的区分往往有潜在困难，[ 121] :176,177 因此直接的约束条件和/或用于比较的重复时序数据都有助于约束模型，使其更接近现实，例如Perry & Wall 1984。[ 121] :176,177 基因对基因 的共同演化有时会显示出混沌的基因频率 动态。[ 122] 演化模型 中，混沌会更常见，以反映真实种群的更多方面。[ 122] [ 122] 农作物 与一种病原体 结合起来，也可能导致病原体总体 的准周期 或混沌震荡。[ 123] （p. 169）
混沌理论也有可能改进经济模型，但预测经济系统的健康状况，及分析影响最大的因素是极其复杂的任务。[ 124] [ 125]
经济学中可以通过递归量化分析 发现混沌现象。事实上，Orlando et al.[ 126] [ 127] [ 128]
管理運籌學領域的許多混沌系統，如排隊系統、庫存系統、計劃調度系統等的主要特點是在不同的管理決策規則下，隊列、庫存和計劃調度的混亂。 Murphy以混沌理論為模型，研究公共關係管理中的問題和危機。 Joseph在總結混沌管理的研究現狀後指出，混沌管理依賴於變化規則，變化規則是基於有序或無序變化、適應性、新的有序出現過程的一套規則。[ 129]
混沌控制由狄透（William Ditto）、賈芬卡（Alan Garfinkel）、約克（Jim Yorke），將此想法化為實用技術，用微小的變化開始，造成希望所想的巨大改變。
化学中，预测气体溶解度对生产聚合物 至关重要，但使用粒子群优化 （PSO）的模型往往会收敛到错误的点上。一种改进的PSO引入了混沌理论，避免了模型陷入困境。[ 130] 天体力学 中，尤其是观测小行星时，混沌理论可以更好预测它们何时会接近行星。[ 131] 冥王星的5颗卫星 中有4颗以混沌方式旋转。量子力学 和电气工程 中，对约瑟夫森效应 大型阵列的研究极大受益于混沌理论。[ 132] [ 133]
混沌理论可用于自然科学以外的领域，但历史上几乎所有此类研究都缺乏可重复性、外部有效性差、和/或不注重交叉验证，导致预测准确性差。Glass[ 134] [ 135]
混沌理论在心理学 亦有应用。例如，在模拟群体行为时，特殊成员可能分享威尔弗雷德·鲁普莱希特·比昂 理论中的基本假设。研究人员发现，群体动态是个体动态的结果：每个个体以不同尺度再现群体动态，群体的混沌反映在每个成员身上。[ 136]
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