腎形線

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腎形線（nephroid）是外形類似腎臟的平面曲线，其英文nephroid源自希腊语的 ὁ νεφρός （ho nephros），和腎臟科的英文nephrology有相同的字根。腎形線主要是指Richard A. Proctor（英语：Richard A. Proctor）在1878年提出的曲線，不過有時也會用來描述其他曲線^[1][2]。

腎形線是六度的代數曲線，可以用一個半徑為 ${\displaystyle a}$的圓在半徑為${\displaystyle 2a}$的固定圓上滾動而得，因此腎形線也屬於外摆线，有二個尖點。腎形線是平面的簡單閉曲線，因此也是若爾當曲線。

考慮一小圓在一固定圓的外面滾動，若小圓的半徑為${\displaystyle a}$，固定圓的圓心在${\displaystyle (0,0)}$，半徑為${\displaystyle 2a}$，小圓的滾動角為${\displaystyle 2\varphi }$，啟始點為${\displaystyle (2a,0)}$（如圖所示），則可以得到腎形線的

• 參數式

${\displaystyle x(\varphi )=3a\cos \varphi -a\cos 3\varphi =6a\cos \varphi -4a\cos ^{3}\varphi \ ,}$

${\displaystyle y(\varphi )=3a\sin \varphi -a\sin 3\varphi =4a\sin ^{3}\varphi \ ,\qquad 0\leq \varphi <2\pi }$

將 ${\displaystyle x(\varphi )}$ 和 ${\displaystyle y(\varphi )}$ 代入以下方程

• ${\displaystyle (x^{2}+y^{2}-4a^{2})^{3}=108a^{4}y^{2}}$

可知上述方程即為腎形線的隱函數表示式（英语：Implicit curve）。

若尖點是在Y軸上，則參數式為

${\displaystyle x=3a\cos \varphi +a\cos 3\varphi ,\quad y=3a\sin \varphi +a\sin 3\varphi ).}$

隱函數表示式為

${\displaystyle (x^{2}+y^{2}-4a^{2})^{3}=108a^{4}x^{2}.}$

上述的腎形線，有以下的性質

• 弧长為${\displaystyle L=24a,}$
• 面积為${\displaystyle A=12\pi a^{2}\ }$
• 曲率半徑為 ${\displaystyle \rho =|3a\sin \varphi |.}$

• Arganbright, D., Practical Handbook of Spreadsheet Curves and Geometric Constructions, CRC Press, 1939, ISBN 0-8493-8938-0, p. 54.
• Borceux, F., A Differential Approach to Geometry: Geometric Trilogy III, Springer, 2014, ISBN 978-3-319-01735-8, p. 148.
• Lockwood, E. H., A Book of Curves, Cambridge University Press, 1961, ISBN 978-0-521-0-5585-7, p. 7.

维基共享资源上的相关多媒体资源：腎形線

• Mathworld: nephroid （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Xahlee: nephroid （页面存档备份，存于互联网档案馆）