配对公理
在公理化集合论 和使用它的逻辑 、数学 和计算机科学 分支中，配对公理 是 Zermelo-Fraenkel 集合论 的公理 之一。
在 Zermelo-Frankel 公理的形式语言 中，这个公理读做：
∀ ∀ -->
x
,
∀ ∀ -->
y
,
∃ ∃ -->
A
,
∀ ∀ -->
z
:
z
∈ ∈ -->
A
⟺ ⟺ -->
(
z
=
x
∨ ∨ -->
z
=
y
)
{\displaystyle \forall x,\forall y,\exists A,\forall z:z\in A\iff (z=x\lor z=y)}
换句话说：
给定任何 集合 x 和任何集合 y ，有着 一个集合 A 使得，给定任何集合 z ，z 是 A 的成员，当且仅当 z 等于 x 或者 z 等于 y 。
这个公理实际说的是，给定两个集合 x 和 y ，我们可以找到一个集合 A ，它的成员就是 x 和 y 。我们可以使用外延公理 证明这个集合 A 是唯一的。我们可以叫这个集合 A 为 x 和 y 的对 ，并把A 指示为 {x ,y }。所以这个公理的本质是：
任何两个集合都有一个对。 {x ,x } 简写为 {x }，叫做包含 x 的单元素集合 。注意单元素集合是对的特殊情况。
配对公理还允许定义有序对 。对于任何集合
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
(
a
,
b
)
=
{
{
a
}
,
{
a
,
b
}
}
.
{\displaystyle (a,b)=\{\{a\},\{a,b\}\}.\,}
注意这个定义满足条件
(
a
,
b
)
=
(
c
,
d
)
⟺ ⟺ -->
a
=
c
∧ ∧ -->
b
=
d
.
{\displaystyle (a,b)=(c,d)\iff a=c\land b=d.}
有序的n -元组
(
a
1
,
… … -->
,
a
n
)
=
(
(
a
1
,
… … -->
,
a
n
− − -->
1
)
,
a
n
)
.
{\displaystyle (a_{1},\ldots ,a_{n})=((a_{1},\ldots ,a_{n-1}),a_{n}).}
配对公理一般被认为是无可争议的，它或它的等价命題出现在任何可替代的集合论的公理化 中。不过在 Zermelo-Fraenkel 集合论 的标准陳述裡，配对公理可以从幂集公理 和替代公理模式 中得出，所以它有时被省略。
与空集公理 一起，配对公理可以一般化为如下模式：
∀ ∀ -->
x
1
,
… … -->
,
∀ ∀ -->
x
n
,
∃ ∃ -->
A
,
∀ ∀ -->
y
:
y
∈ ∈ -->
A
⟺ ⟺ -->
(
y
=
x
1
∨ ∨ -->
⋯ ⋯ -->
∨ ∨ -->
y
=
x
n
)
{\displaystyle \forall x_{1},\ldots ,\forall x_{n},\exists A,\forall y:y\in A\iff (y=x_{1}\lor \cdots \lor y=x_{n})}
就是说：
给定任何有限 数目的集合 x 1 ,..., x n A ，它的成员就是 x 1 ,..., x n A 是唯一的，其指示为{x 1 ,...,x n 当然，我们不能严格地指出何謂有限 数目的一些集合，除非早就給定了一個有限集合，而上述的x 1 ,..., x n 模式 自然数 n 有一个单独的陈述。
情况 n = 1 是带有 x = x 1 而 y = x 1 的配对公理。
情况 n = 2 是带有 x = x 1 而 y = x 2 的配对公理。
情况 n > 2 可以透過多次使用配对公理和并集公理 来证明。 例如，要证明情况 n = 3，使用配对公理三次，来生成对 {x 1 ,x 2 }，单元素集合 {x 3 }，接着的对 {{x 1 ,x 2 },{x 3 }}。并集公理接着生成想要的结果 {x 1 ,x 2 ,x 3 }。我们可以扩展这个模式以包括 n =0，如果我们把这个情况詮釋为空集公理 的話。
所以，它可以作为公理模式 来替代空集公理和配对公理。但是人们通常单独使用空集公理和配对公理，并把它作為一個定理 模式來证明。注意接受这个模式为公理模式不会替代并集公理 ，在其他情况下仍需要并集公理。
另一个公理在給定空集公理 时可以蕴涵配对公理：
∀ ∀ -->
x
,
∀ ∀ -->
y
,
∃ ∃ -->
A
,
∀ ∀ -->
z
(
z
∈ ∈ -->
A
⟺ ⟺ -->
(
z
∈ ∈ -->
x
∨ ∨ -->
z
=
y
)
)
{\displaystyle \forall x,\forall y,\exists A,\forall z(z\in A\iff (z\in x\lor z=y))}
作代入 x ={}，y =a ，我们得到 A 为 {a }。接着再作代入：x ={a }，y =b ，我们得到 A 为 {a ,b }。透過这种方式可以構造任意有限集合。而且這個公理可以用来生成所有继承有限集合 ，而不需使用并集公理 。
Paul Halmos, Naive set theory . Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition).
Jech, Thomas, 2003. Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded . Springer. ISBN 3-540-44085-2 .
Kunen, Kenneth, 1980. Set Theory: An Introduction to Independence Proofs . Elsevier. ISBN 0-444-86839-9 .
