麥卡托世界地图 （1569年）以麥卡托投影法呈現的世界地圖。 麥卡托投影法 （英語：Mercator projection ），又稱麦卡托投影法 、正軸等角圓柱投影 ，是一種等角的圓柱形地圖投影法 。
本投影法得名於法蘭德斯 (佛蘭德)出身的地理學家 傑拉杜斯·麥卡托 ，他於1569年發表長202公分、寬124公分以此方式繪製的世界地圖。在以此投影法繪製的地圖上，將地球在平面展開，經 緯線 於任何位置皆垂直相交，使世界地圖 可以繪製在一個長方形 ，地圖的任一點在各種方向的長度均相等。由於可顯示任兩點間的正確方位，指出真實的經緯度，航海用途的海圖 、航路圖 大都以此方式繪製。在该投影中线型比例尺在图中任意一点周围都保持不变，從而可以保持大陆轮廓投影后的角度和形状不变（即等角 ）；但麥卡托投影会使面积产生变形，赤道 地區變化最小，南 北 兩極的變形最大，但因為在南 北 迴歸線之間影響很少，而這是多數航線所在區域，所以被廣泛用來編製地圖。
地图上纵向方位（图中的横轴）和纬度（图中的纵轴）的关系。 下列公式在使用墨卡托投影的地图中，从纬度 φ 和经度 λ （其中λ 0 是本初子午線 ）推导为坐标系 中的坐标x 和y 。
这是古德曼函数 的逆推导：
x
=
λ
−
λ
0
y
=
ln
(
tan
(
π
4
+
φ
2
)
)
=
1
2
ln
(
1
+
sin
(
φ
)
1
−
sin
(
φ
)
)
=
tanh
−
1
(
sin
(
φ
)
)
=
sinh
−
1
(
tan
(
φ
)
)
=
ln
(
tan
(
φ
)
+
sec
(
φ
)
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}x&=\lambda -\lambda _{0}\\y&=\ln \left(\tan \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\varphi }{2}}\right)\right)\\&={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {1+\sin(\varphi )}{1-\sin(\varphi )}}\right)\\&=\tanh ^{-1}\left(\sin(\varphi )\right)\\&=\sinh ^{-1}\left(\tan(\varphi )\right)\\&=\ln \left(\tan(\varphi )+\sec(\varphi )\right).\end{aligned}}}
这是古德曼函数：
φ
=
2
tan
−
1
(
e
y
)
−
π
2
=
tan
−
1
(
sinh
(
y
)
)
λ
=
x
+
λ
0
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\varphi &=2\tan ^{-1}(e^{y})-{\frac {\pi }{2}}\\&=\tan ^{-1}(\sinh(y))\\\lambda &=x+\lambda _{0}.\end{aligned}}}
比例尺与纬度φ 的正割 成比例，越趋向极地 （φ = ±90°）面积变形越大。此外，由公式可知，极点处的y 值为正负无穷大。
麥卡托投影是一种等角投影。 假设地球 为正球形。（实际上并非为正球形，而是有扁率 的，但制作小比例尺地图时误差可忽略不计。若需更精确，可插入等角纬线 。）我们需要将经纬度坐标（λ , φ ）转换为笛卡尔 坐标(x , y )，求以赤道为基准的切柱面投影（即x = λ ），并保持形状不变，故：
∂
x
∂
λ
=
cos
(
φ
)
∂
y
∂
φ
{\displaystyle {\frac {\partial x}{\partial \lambda }}=\cos(\varphi ){\frac {\partial y}{\partial \varphi }}}
∂
y
∂
λ
=
−
cos
(
φ
)
∂
x
∂
φ
{\displaystyle {\frac {\partial y}{\partial \lambda }}=-\cos(\varphi ){\frac {\partial x}{\partial \varphi }}}
从 x = λ 可知
∂
x
∂
λ
=
1
{\displaystyle {\frac {\partial x}{\partial \lambda }}=1}
∂
x
∂
φ
=
0
{\displaystyle {\frac {\partial x}{\partial \varphi }}=0}
给出
1
=
cos
(
φ
)
∂
y
∂
φ
{\displaystyle 1=\cos(\varphi ){\frac {\partial y}{\partial \varphi }}}
0
=
∂
y
∂
λ
{\displaystyle 0={\frac {\partial y}{\partial \lambda }}}
因此，y 是φ 的唯一函数，且可得到
y
′
=
sec
φ
{\displaystyle y'=\sec \varphi }
积分表
y
=
ln
(
|
sec
(
φ
)
+
tan
(
φ
)
|
)
+
C
.
{\displaystyle y=\ln(|\sec(\varphi )+\tan(\varphi )|)+C.\,}
在地图中φ = 0得到y = 0，所以取C = 0.
以麥卡托投影法繪製的地圖。
由於麥卡托投影在高緯度過分放大，低緯度又過分縮小，因此會產生有趣的錯覺。比如世界第一大島高緯度的格陵蘭 比澳洲 看起來還大好幾倍。世界第二大島低緯度的新幾內亞 和日本 差不多大小。然而新幾內亞島面積足足是日本的2倍。
以下是實際面積（單位：平方公里）
澳洲：7,692,024平方公里
格陵蘭：2,166,086平方公里
日本：378,000平方公里
新幾內亞島：786,000平方公里
Snyder, John P. Map Projections - A Working Manual. U.S. Geological Survey Professional Paper 1395. United States Government Printing Office, Washington, D.C. 1987. USGS pages 下载。Monmonier, Mark. Rhumb Lines and Map Wars . Chicago: The University of Chicago Press. 2004. Needham, Joseph (1986). Science and Civilization in China: Volume 3; Mathematics and the Sciences of the Heavens and the Earth . Taipei: Caves Books Ltd.
Needham, Joseph (1986). Science and Civilization in China: Volume 4, Physics and Physical Technology, Part 3, Civil Engineering and Nautics. Taipei: Caves Books Ltd.
