在幾何學 中，黑塞二十七面體 （Hessian polyhedron）是一個複正多面體，其位於
C
3
{\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}
複 希爾伯特空間 中由27個莫比烏斯－坎特八邊形 組成[ 1] 面 、72條三元邊[ 註 1] 頂點 ，是一個自身對偶的多面體[ 註 2] [ 2] [ 3]
由於這種形狀與黑塞排佈共享複排佈 路德维希·奥托·黑塞 的名字命名。[ 5]
黑塞二十七面體是一種位於複數 空間的立體，其對應到實數空間同樣也有一種實數空間的代表，其為221 多胞體 [ 1] 3 {}替換成3條簡單邊即可於221 中被觀察到。[ 6]
黑塞二十七面體由27個全等的莫比烏斯－坎特八邊形 組成[ 1] [ 2] 三元邊 ，每個邊皆連接了3個頂點[ 7] 莫比烏斯－坎特八邊形 的公共頂點，即頂點圖 為莫比烏斯－坎特八邊形 ，換句話說即黑塞二十七面體是一個自身對偶多面體。[ 註 2] [ 2]
其複鏡像群 3 [3]3 [3]3 或[ 1] 黑塞群 [ 6]
對於λ, μ = 0,1,2，黑塞二十七面體的27個頂點可以在三維的複數 空間中給出：[ 8]
(0,ωλ ,−ωμ )
(−ωμ ,0,ωλ )
(ωλ ,−ωμ ,0) 其中
ω
=
−
1
+
i
3
2
{\displaystyle \omega ={\tfrac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}}}
黑塞二十七面體，其中一個面以藍色表示。 黑塞二十七面體由27個全等的莫比烏斯－坎特八邊形 組成[ 1] 施萊夫利符號 中可以用3 {3}3 來表示、在考克斯特記號中可以用八邊形 不同，莫比烏斯－坎特八邊形位於複 希爾伯特平面 ，且構成這種形狀的稜每個稜階連接了三個頂點，稱為三元稜或三元邊（Trion），這種幾何結構在施萊夫利符號中可以用3 [ 9]
黑塞二十七面體有8種具有特殊對稱性的正交投影。其中重合的頂點以不同顏色表示，其72個三元邊被繪製為3條一般的邊。其中，第一種代表了E6 的考克斯特平面[ 1]
考克斯特平面正交投影
E6
Aut(E6)
D5
D4 / A2
B6
A5
A4
A3 / D3
部分研究中，此形狀用於表示標準模型中一些基本粒子的關係[ 10]
以亞歷山大·威廷 威廷二百四十胞體 [ 11]
^ 在數學 中，邊或稜 通常可以代表頂點皆只位在單一軸上並不涉及其他軸分量組成的幾何結構，例如x軸上的(2,0)連接到(3,0)的棱，但若將每一個維度從實數推廣至複數，則「軸」的概念可以被替換為高斯平面 ，這意味著稜不再只是一條線段，而可能是高斯平面上的一個區域。而三元邊或三元棱則為連接三個頂點所構成複數空間的棱。這種結構無法存於實空間，在實空間中，三元棱對應的幾何結構為三角形 。
^ 2.0 2.1 對偶多面體為本身的多面體稱為自身對偶多面體 。
Coxeter, H. S. M., Moser, W. O. J.; Generators and Relations for Discrete Groups (1965), esp pp 67–80.
Coxeter, H. S. M.; Regular Complex Polytopes , Cambridge University Press, (1974).
Coxeter, H. S. M., Shephard, G.C.; Portraits of a family of complex polytopes, Leonardo Vol 25, No 3/4, (1992), pp 239–244,
^ 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 Stacey, Blake C, Sporadic SICs and Exceptional Lie Algebras, sunclipse, December 30, 2018 ^ 2.0 2.1 2.2 Duke, Andrew Cameron, Cube-like regular incidence complexes, Northeastern University, 2014 ^ Krishnan, R and Harrison, PF and Scott, WG. Fully constrained Majorana neutrino mass matrices using
Σ
(
72
×
3
)
{\displaystyle {\mathit {\Sigma }}(72\times 3)}
78 (1): 74. ^ 4.0 4.1 4.2 Coxeter, H.S.M. , Regular Complex Polytopes, Cambridge University Press, 1991, ISBN 0-521-39490-2 ^ Coxeter, Complex Regular polytopes,[ 4]
^ 6.0 6.1 Briand, Emmanuel and Luque, Jean-Gabriel and Thibon, Jean-Yves and Verstraete, Frank. The moduli space of three-qutrit states. Journal of mathematical physics (AIP). 2004, 45 (12): 4855––4867. ^ Complex Regular Polytopes,[ 4] Regular complex polygons p.103
^ Coxeter, HSM. The equianharmonic surface and the Hessian polyhedron. Annali di Matematica Pura ed Applicata (Springer). 1974, 98 (1): 77––92. ^ Complex Regular Polytopes,[ 4] Regular complex polygons p.103
^ de Wet, JA, A Standard Model Algebra, International Mathematical Forum 7 (51), 2012, 7 (51): 2519––2524 ^ Lei, Y. Hessian Polyhedra, Invariant Theory and Appell Hypergeometric Functions. World Scientific Publishing Company. 2018: p.127. ISBN 9789813209497
柏拉圖立體 星形正多面體 正扭歪無限面體 皮特里對偶 無法良好具像化的抽象 複合正多面體
一種多面體 對偶複合體
二複合正四面體 {3,3}{3,3}複合八面體立方體 {3,4}{4,3}複合十二面體二十面體 {5,3}{3,5}複合大二十面體大星形十二面體 5 /2 }{5 /2 ,3}複合小星形十二面體大十二面體 {5 /2 ,5}{5,5 /2 }二複合六角六片三角孔扭歪無限面體 {6,6|3}{6,6|3}複合四角六片四角孔扭歪無限面體六角四片四角孔扭歪無限面體 {4,6|4}{6,4|4}
其他空間的正多面體
相關條目
![{\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}27&8&8\\3&72&3\\8&8&27\end{smallmatrix}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ce8a23cb19a8602ae8bd2f0281a20b2b79aeb8b)
