交叉熵

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在信息论中，基于相同事件测度的两个概率分布${\displaystyle p}$和${\displaystyle q}$的交叉熵（英語：Cross entropy）是指，当基于一个“非自然”（相对于“真实”分布${\displaystyle p}$而言）的概率分布${\displaystyle q}$进行编码时，在事件集合中唯一标识一个事件所需要的平均比特数（bit）。

给定两个概率分布${\displaystyle p}$和${\displaystyle q}$，${\displaystyle p}$相对于${\displaystyle q}$的交叉熵定义为：

${\displaystyle H(p,q)=\operatorname {E} _{p}[-\log q]=H(p)+D_{\mathrm {KL} }(p\|q),\!}$

其中${\displaystyle H(p)}$是${\displaystyle p}$的熵，${\displaystyle D_{\mathrm {KL} }(p\|q)}$是从${\displaystyle p}$与${\displaystyle q}$的KL散度(也被称为p相对于q的相对熵)。

对于离散分布${\displaystyle p}$和${\displaystyle q}$，这意味着：

${\displaystyle H(p,q)=-\sum _{x}p(x)\,\log q(x).\!}$

对于连续分布也是类似的。我们假设${\displaystyle p}$和${\displaystyle q}$在测度 ${\displaystyle r}$上是绝对连续的(通常 ${\displaystyle r}$是Lebesgue measure on a Borel σ-algebra)。设${\displaystyle P}$和${\displaystyle Q}$分别为${\displaystyle p}$和${\displaystyle q}$在测度 ${\displaystyle r}$上概率密度函数。则

${\displaystyle -\int _{X}P(x)\,\log Q(x)\,dr(x)=\operatorname {E} _{p}[-\log Q].\!}$

在信息论中, 以直接可解编码模式通过值${\displaystyle x_{i}}$编码一个信息片段，使其能在所有可能的${\displaystyle X}$集合中唯一标识该信息片段，Kraft–McMillan theorem确保这一过程可以被看作一种${\displaystyle X}$上的隐式概率分布${\displaystyle q(x_{i})=2^{-l_{i}}}$，从而使得${\displaystyle l_{i}}$是${\displaystyle x_{i}}$的编码位长度。 因此, 交叉熵可以看作每个信息片段在错误分布${\displaystyle Q}$下的期望编码位长度，而信息实际分布为${\displaystyle P}$。这就是期望${\displaystyle {E}_{p}}$是基于${\displaystyle P}$而不是${\displaystyle Q}$的原因。

${\displaystyle H(p,q)=\operatorname {E} _{p}[l_{i}]=\operatorname {E} _{p}\left[\log {\frac {1}{q(x_{i})}}\right]}$

${\displaystyle H(p,q)=\sum _{x_{i}}p(x_{i})\,\log {\frac {1}{q(x_{i})}}\!}$

${\displaystyle H(p,q)=-\sum _{x}p(x)\,\log q(x).\!}$

在大多数情况下，我们需要在不知道分布${\displaystyle p}$的情况下计算其交叉熵。例如在语言模型中, 我们基于训练集${\displaystyle T}$创建了一个语言模型, 而在测试集合上通过其交叉熵来评估该模型的准确率。${\displaystyle p}$是语料中词汇的真实分布，而${\displaystyle q}$是我们获得的语言模型预测的词汇分布。由于真实分布是未知的，我们不能直接计算交叉熵。在这种情况下，我们可以通过下式来估计交叉熵:

${\displaystyle H(T,q)=-\sum _{i=1}^{N}{\frac {1}{N}}\log _{2}q(x_{i})}$

${\displaystyle N}$是测试集大小，${\displaystyle q(x)}$是在训练集上估计的事件${\displaystyle x}$发生的概率。我们假设训练集是从${\displaystyle p(x)}$的真实采样，则此方法获得的是真实交叉熵的蒙特卡洛估计。

• de Boer, Pieter-Tjerk; Kroese, Dirk P.; Mannor, Shie; Rubinstein, Reuven Y. A Tutorial on the Cross-Entropy Method (PDF) (pdf) 134 (1). February 2005: 19–67 [2018-02-02]. ISSN 1572-9338. doi:10.1007/s10479-005-5724-z. （原始内容存档 (PDF)于2016-10-26）.  |journal=被忽略 (帮助)