拓撲學及數學的相近分支中,局部緊拓撲空間的每小塊,單獨看來,都很類似緊空間的一小塊。準確而言,其每點周圍都有一個緊鄰域。
數學分析尤其關注豪斯多夫的局部緊空間,常以「局部緊豪斯多夫」(英語:Locally Compact Hausdorff)的首字母簡稱為LCH空間。[1]:131
設 X {\displaystyle X} 為拓撲空間。通常稱 X {\displaystyle X} 局部緊的意思是, X {\displaystyle X} 的每點 x {\displaystyle x} ,都有緊鄰域,即開集 U {\displaystyle U} 和緊集 K {\displaystyle K} ,令 x ∈ ∈ --> U ⊆ ⊆ --> K {\displaystyle x\in U\subseteq K} 。
也有其他常見定義。下列定義在 X {\displaystyle X} 豪斯多夫(預正則空間亦然)時皆等價,但一般則不一定:
上述條件中的邏輯關係有:
條件1或較常用作定義,因為最易滿足,且當 X {\displaystyle X} 豪斯多夫時,全部條件皆與條件1等價。要證明等價,用到兩個性質:其一,豪斯多夫空間的緊子集必為閉;其二,緊空間的閉子集必為緊。
由於條件2′、2″用相對緊集定義,滿足該條件的空間可以更明確稱為局部相對緊,而與局部緊空間區分。[2][3]斯蒂恩(Steen)及澤巴赫(Seebach)[4]:20稱條件2、2′、2″為強局部緊,而稱條件1為局部緊。
採用條件4的例子有布爾巴基[5]。應用中,局部緊空間通常的確豪斯多夫,從而無需區分上述定義。本條目主要討論此種局部緊豪斯多夫(LCH)空間。
緊豪斯多夫空間必然局部緊,此種例子見於條目緊空間,略舉三例如下:
若豪斯多夫空間為局部緊,則必為吉洪諾夫空間,詳見下節。條目吉洪諾夫空間中,可以找到若干例子,是豪斯多夫空間但非吉洪諾夫,故必不局部緊。
此外,也有吉洪諾夫空間非局部緊,例如:
首兩個例子說明,局部緊空間的子集不必局部緊,與前節開(或閉)子集的情況相對。末一個例子,則與前節歐氏空間的情況相對;具體言之,豪斯多夫拓撲向量空間為局部緊,當且僅當其為有限維(等同歐氏空間)。此例亦與希爾伯特立方(英语:Hilbert cube)作為緊空間的情況相對,但並無矛盾,因為希爾伯特立方不能是希爾伯特空間某點的鄰域。
局部緊的預正則空間(英语:preregular space)必為吉洪諾夫空間(完全正則)。由此推論,局部緊的豪斯多夫空間亦為吉洪諾夫空間。由於「正則」比「預正則」(通常稍弱)或「完全正則」(通常稍強)更常用,文獻一般稱此類空間為局部緊正則空間。同理,局部緊的吉洪諾夫空間一般稱局部緊豪斯多夫空間。
局部緊豪斯多夫空間必為貝爾空間(英语:Baire space)。換言之,貝爾綱定理適用於此類空間:取任意可數多個無處稠密集,其並集的內部必為空集。
局部緊豪斯多夫空間 Y {\displaystyle Y} 的拓撲子空間 X {\displaystyle X} 也是局部緊,當且僅當 X {\displaystyle X} 是 Y {\displaystyle Y} 某兩個閉子集之差。由此推論,局部緊豪斯多夫空間 Y {\displaystyle Y} 的子空間 X {\displaystyle X} 為局部緊當且僅當 X {\displaystyle X} 是開子集。若將 Y {\displaystyle Y} 放寬成任意豪斯多夫空間,則由子空間 X {\displaystyle X} 局部緊,仍能推出 X {\displaystyle X} 為 Y {\displaystyle Y} 某兩個閉子集之差,反之則不然。
局部緊空間的商空間必為緊生成。反之,緊生成空間必為某個局部緊豪斯多夫空間的商。
對局部緊空間而言,局部均勻收斂(英语:local uniform convergence)與緊收斂等價。
設 X {\displaystyle X} 為局部緊豪斯多夫空間,則 X {\displaystyle X} 作為吉洪諾夫空間,固然能藉斯通-切赫緊化,嵌入到緊豪斯多夫空間 b ( X ) {\displaystyle b(X)} ,但有了局部緊的特殊性質,則有更簡單的方法嵌入到緊豪斯多夫空間,稱為單點緊化(英语:one-point compactification)。新空間 a ( X ) {\displaystyle a(X)} 僅比 X {\displaystyle X} 多一點。(單點緊化適用於其他空間,但所得的 a ( X ) {\displaystyle a(X)} 為豪斯多夫,當且僅當 X {\displaystyle X} 本身是局部緊且豪斯多夫。)所以,局部緊豪斯多夫空間也可以刻劃成緊豪斯多夫空間的開子集。
a ( X ) {\displaystyle a(X)} 多出的一點可直觀視為無窮遠點,此點不在 X {\displaystyle X} 的任何緊子集中。因此,所謂趨向無窮之事,有一些可藉此以局部緊豪斯多夫空間闡明。 舉例,定義在 X {\displaystyle X} 上的連續實值(英语:real-valued function)或複值函數(英语:complex-valued function) f {\displaystyle f} 稱為消失於無窮遠,是指給定任意正實數 ε ε --> {\displaystyle \varepsilon } , X {\displaystyle X} 皆有緊子集 K {\displaystyle K} ,使 | f ( x ) | < ε ε --> {\displaystyle |f(x)|<\varepsilon } 對 K {\displaystyle K} 外的一切點 x {\displaystyle x} 成立。前述定義適用於任意拓撲空間 X {\displaystyle X} ,而在 X {\displaystyle X} 為局部緊豪斯多夫的特例,等價於 f {\displaystyle f} 能延拓成單點緊化 a ( X ) = X ∪ ∪ --> { ∞ ∞ --> } {\displaystyle a(X)=X\cup \{\infty \}} 上的連續函數 g {\displaystyle g} ,使 g ( ∞ ∞ --> ) = 0 {\displaystyle g(\infty )=0} 。
消失於無窮遠的連續複值函數之集合 C 0 ( X ) {\displaystyle C_{0}(X)} 是C*代數。反之,可交換的C*代數必同構於某個局部緊豪斯多夫空間 X {\displaystyle X} 的 C 0 ( X ) {\displaystyle C_{0}(X)} ,其中 X {\displaystyle X} 在同胚意義下唯一。以範疇言之,局部緊空間範疇與交換C*代數範疇對偶(英语:Duality (category theory)),其證法用到蓋爾范德表示(英语:Gelfand representation)[7]。前一範疇中, X {\displaystyle X} 加入無窮遠點,變成 a ( X ) {\displaystyle a(X)} 之事,在後一範疇對應向 C 0 ( X ) {\displaystyle C_{0}(X)} 添加單位元。
拓撲群論中,局部緊是重要概念,因為每個豪斯多夫局部緊群(英语:locally compact group) G {\displaystyle G} 都自然配備哈爾測度,因而在 G {\displaystyle G} 上定義可測函數的積分。實數軸 R {\displaystyle \mathbb {R} } 的勒貝格測度為其特例。
拓撲交換群(英语:Topological abelian group) A {\displaystyle A} 的龐特里亞金對偶為局部緊,當且僅當 A {\displaystyle A} 是局部緊。又以範疇言之,龐特里亞金對偶是局部緊交換群範疇的自對偶(英语:Duality (category theory))。研究局部緊交換群,為調和分析奠下基礎。此領域現也研究非交換的局部緊群。
邻域 · 内部 · 邊界 · 外部 · 极限点 · 孤点