هذه المقالة عن التدرج في الرياضيات. للطائر، طالع
تدرج (طائر) .
في الصورتين أعلاه، الحقل القياسي باللونين الأسود والأبيض والحقل المتجهي باللون الأزرق. اللون الأسود يعبر عن قيم عالية. والأسهم الزرقاء تمثل التدرج المقابل.
في حساب المتجهات ، التَدَرُّج [ 1] (بالإنجليزية : Gradient ) ورمزه
∇ ∇ -->
{\displaystyle \nabla }
مؤثر تفاضلي على غرار مؤثري الدوران والتباعد . يؤثر التدرج على الحقول القياسية وينتج حقولا متجهية يتركز في اتجاه أعلى معدل تزايد للحقل القياسي.
الصيغة الرياضية
يحسب تدرج حقل قياسي في الإحداثيات الديكارتية ثلاثية الأبعاد وفقا لما يلي:
∇ ∇ -->
f
(
x
,
y
,
z
)
=
(
∂ ∂ -->
f
∂ ∂ -->
x
,
∂ ∂ -->
f
∂ ∂ -->
y
,
∂ ∂ -->
f
∂ ∂ -->
z
)
{\displaystyle \nabla f(x,y,z)=\left({\frac {\partial f}{\partial x}},{\frac {\partial f}{\partial y}},{\frac {\partial f}{\partial z}}\right)}
أما في الإحداثيات القطبية فوفقا للتالي:
∇ ∇ -->
f
=
∂ ∂ -->
f
∂ ∂ -->
r
r
^ ^ -->
+
1
r
∂ ∂ -->
f
∂ ∂ -->
θ θ -->
θ θ -->
^ ^ -->
+
1
r
sin
-->
θ θ -->
∂ ∂ -->
f
∂ ∂ -->
ϕ ϕ -->
ϕ ϕ -->
^ ^ -->
{\displaystyle \nabla f={\partial f \over \partial r}{\boldsymbol {\hat {r}}}+{1 \over r}{\partial f \over \partial \theta }{\boldsymbol {\hat {\theta }}}+{1 \over r\sin \theta }{\partial f \over \partial \phi }{\boldsymbol {\hat {\phi }}}}
وفي الإحداثيات الإسطوانية
∇ ∇ -->
f
=
∂ ∂ -->
f
∂ ∂ -->
ρ ρ -->
ρ ρ -->
^ ^ -->
+
1
ρ ρ -->
∂ ∂ -->
f
∂ ∂ -->
ϕ ϕ -->
ϕ ϕ -->
^ ^ -->
+
∂ ∂ -->
f
∂ ∂ -->
z
z
^ ^ -->
{\displaystyle \nabla f={\partial f \over \partial \rho }{\boldsymbol {\hat {\rho }}}+{1 \over \rho }{\partial f \over \partial \phi }{\boldsymbol {\hat {\phi }}}+{\partial f \over \partial z}{\boldsymbol {\hat {z}}}}
أما في الإحداثيات الكروية
∇ ∇ -->
f
=
∂ ∂ -->
f
∂ ∂ -->
r
r
^ ^ -->
+
1
r
∂ ∂ -->
f
∂ ∂ -->
θ θ -->
θ θ -->
^ ^ -->
+
1
r
sin
-->
θ θ -->
∂ ∂ -->
f
∂ ∂ -->
ϕ ϕ -->
ϕ ϕ -->
^ ^ -->
{\displaystyle \nabla f={\partial f \over \partial r}{\boldsymbol {\hat {r}}}+{1 \over r}{\partial f \over \partial \theta }{\boldsymbol {\hat {\theta }}}+{1 \over r\sin \theta }{\partial f \over \partial \phi }{\boldsymbol {\hat {\phi }}}}
العمليات على المتجهات
يدرس التفاضل الشعاعي العديد من العمليات التفاضلية معرفة في الحقل الشعاعي أو السلمي، والتي يعبر عنها غالباً على شكل معامل نابلا (
∇ ∇ -->
{\displaystyle \nabla }
). العمليات الرئيسية الأربعة في التفاضل الشعاعي هي:
العملية
الترميز
الوصف
المجال
تدرج Gradient
grad
-->
(
f
)
=
∇ ∇ -->
f
{\displaystyle \operatorname {grad} (f)=\nabla f}
تقيس معدل وجهة التغير في الحقل السلمي.
تسقط الحقل السلمي على الحقل الشعاعي.
دوران Curl
curl
-->
(
F
)
=
∇ ∇ -->
× × -->
F
{\displaystyle \operatorname {curl} (\mathbf {F} )=\nabla \times \mathbf {F} }
يقيس قابلية الدوران حول نقطة في الحقل الشعاعي.
يسقط الحقل الشعاعي على الحقل الشعاعي.
تباعد Divergence
div
-->
(
F
)
=
∇ ∇ -->
⋅ ⋅ -->
F
{\displaystyle \operatorname {div} (\mathbf {F} )=\nabla \cdot \mathbf {F} }
يقيس ميل المصدر أو المصرف عند نقطة معينة في الحقل الشعاعي.
يسقط الحقل الشعاعي على الحقل السلمي.
لابلاسي Laplacian
Δ Δ -->
f
=
∇ ∇ -->
2
f
=
∇ ∇ -->
⋅ ⋅ -->
∇ ∇ -->
f
{\displaystyle \Delta f=\nabla ^{2}f=\nabla \cdot \nabla f}
مركب من عمليتي التباعد والتدرج.
يسقط الحقل السلمي على الحقل السلمي.
مراجع