Delta-Distribution

Die Delta-Distribution (auch δ-Funktion; Dirac-Funktion, -Impuls, -Puls, -Stoß (nach Paul Dirac), Stoßfunktion, Nadelimpuls, Impulsfunktion oder Einheitsimpulsfunktion genannt) als mathematischer Begriff ist eine spezielle singuläre Distribution mit kompaktem Träger. Ihr übliches Formelsymbol ist δ (kleines Delta).

Die Delta-Distribution ist eine stetige lineare Abbildung von einem Funktionenraum der Testfunktionen ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ in den zugrunde liegenden Körper ${\displaystyle \mathbb {K} }$:

${\displaystyle \delta \colon \,{\mathcal {E}}\to \mathbb {K} \,,\,f\mapsto f(0)}$.

Der Testfunktionenraum für die Delta-Distribution ist der Raum der beliebig oft differenzierbaren Funktionen ${\displaystyle C^{\infty }(\Omega )}$ mit ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ bzw. ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {C} ^{n}}$ offen und ${\displaystyle 0\in \Omega }$. Somit entspricht ${\displaystyle \mathbb {K} }$ entweder den reellen ${\displaystyle \mathbb {R} }$ oder den komplexen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {C} }$.

Die Delta-Distribution ordnet jeder beliebig oft differenzierbaren Funktion ${\displaystyle f}$ eine reelle bzw. komplexe Zahl ${\displaystyle \delta (f)=f(0)}$ zu, nämlich die Auswertung der Funktion an der Stelle 0. Der Wert, den die Delta-Distribution nach Anwendung auf eine Testfunktion ${\displaystyle f\in {\mathcal {E}}}$ liefert, schreibt man (mit der Notation der dualen Paarung) auch als

${\displaystyle \delta (f)=\langle \delta ,f\rangle =f(0)}$

beziehungsweise auch als

${\displaystyle \delta (f)=\int _{\Omega }\delta (x)\,f(x)\,\mathrm {d} x=f(0)\,.}$

Diese Schreibweise ist eigentlich nicht richtig und nur symbolisch zu verstehen, weil die Delta-Distribution eine singuläre Distribution ist, das heißt, sie lässt sich nicht durch eine lokal integrierbare Funktion in obiger Weise darstellen. Es gibt also keine Funktion ${\displaystyle \delta }$, welche der obigen Definition genügt. Insbesondere bei technisch orientierten Anwendungen des Konzepts sind dennoch mathematisch nicht präzise Bezeichnungen wie „Delta-Funktion“, „Dirac-Funktion“ oder „Impulsfunktion“ gebräuchlich. Bei Verwendung der Integral-Schreibweise ist zu beachten, dass es sich nicht um ein Riemann-Integral oder Lebesgue-Integral bzgl. des Lebesgue-Maßes, sondern um die Auswertung des Funktionals ${\displaystyle \delta }$ an der Stelle ${\displaystyle f}$, also ${\displaystyle \delta (f)=f(0)}$, handelt.

Das durch ein positives Radon-Maß ${\displaystyle \mu }$ erzeugte Funktional ${\displaystyle \textstyle \langle \mu ,f\rangle =\int f(x)\,\mathrm {d} \mu }$ (für ${\displaystyle f\in {\mathcal {D}}}$) ist eine Distribution. Die Delta-Distribution wird von folgendem Radon-Maß – man spricht hier speziell vom Diracmaß – erzeugt:

${\displaystyle \delta (A)={\begin{cases}1,\ &{\text{ falls }}0\in A,\\0,\ &{\text{ sonst,}}\end{cases}}}$

wobei ${\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} }$. Ein Maß lässt sich physikalisch interpretieren, z. B. als Massenverteilung oder Ladungsverteilung des Raums. Dann entspricht die Delta-Distribution einem Massenpunkt der Masse 1 oder einer Punktladung der Ladung 1 im Ursprung.

${\displaystyle \langle \delta ,f\rangle =\int f(x)\,\mathrm {d} \delta =f(0).}$

Befinden sich an den Stellen ${\displaystyle x_{i}\in \mathbb {R} }$ Punktladungen ${\displaystyle q_{i}}$, wobei die Summe über alle Ladungen endlich bleibt, dann wird für ${\displaystyle A\subset \mathbb {R} }$ ein Maß auf der ${\displaystyle \sigma }$-Algebra aller Teilmengen von ${\displaystyle \mathbb {R} }$ definiert, das der Ladungsverteilung entspricht (${\displaystyle i_{A}}$ durchlaufe alle ${\displaystyle i}$ mit ${\displaystyle x_{i}\in A}$):

${\displaystyle \rho (A):=\sum _{i_{A}}q_{i}.}$

Für dieses Maß ist dann die zugehörige Distribution:

${\displaystyle \langle \rho ,f\rangle =\int f(x)\,\mathrm {d} \rho =\sum _{i_{A}}f(x_{i})q_{i}.}$

Man kann die Delta-Distribution wie alle anderen Distributionen auch als Grenzwert einer Funktionenfolge darstellen. Die Menge der Dirac-Folgen ist die wichtigste Klasse von Funktionenfolgen, mit denen die Delta-Distribution dargestellt werden kann. Jedoch gibt es noch weitere Folgen, die gegen die Delta-Distribution konvergieren.

Eine Folge ${\displaystyle (\delta _{k})_{k\in \mathbb {N} }}$ integrierbarer Funktionen ${\displaystyle \delta _{k}\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})}$ wird Dirac-Folge genannt, falls

1. für alle ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ und alle ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$ die Bedingung ${\displaystyle \delta _{k}(x)\geq 0\,,}$
2. für alle ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$ die Identität ${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}\delta _{k}(x)\,\mathrm {d} x=1}$ und
3. für alle ${\displaystyle \epsilon >0}$ die Gleichheit ${\displaystyle \lim _{k\to \infty }\int _{\mathbb {R} ^{n}\setminus B_{\epsilon }(0)}\delta _{k}(x)\mathrm {d} x=0}$

gilt. Manchmal versteht man unter einer Dirac-Folge auch nur einen Spezialfall der hier definierten Dirac-Folge. Wählt man nämlich eine Funktion ${\displaystyle \phi \in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})}$ mit ${\displaystyle \phi (x)\geq 0}$ für alle ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ und ${\displaystyle \textstyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}\phi (x)\mathrm {d} x=1}$ und setzt ${\displaystyle \delta _{\epsilon }(x):=\epsilon ^{-n}\phi ({\tfrac {x}{\epsilon }})}$ für ${\displaystyle \epsilon >0}$, dann erfüllt diese Funktionenschar die Eigenschaften 1 und 2. Betrachtet man den Grenzwert ${\displaystyle \epsilon \to 0}$ anstatt ${\displaystyle k\to \infty }$, so ist auch Eigenschaft 3 erfüllt. Daher nennt man die Funktionenschar ${\displaystyle \delta _{\epsilon }}$ ebenfalls Dirac-Folge.^[1]

Die Funktion ${\displaystyle \delta _{k}}$ kann man nun mit einer regulären Distribution

${\displaystyle \delta _{k}(f):=\langle \delta _{k},f\rangle :=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\delta _{k}(x)\,f(x)\,\mathrm {d} x}$

identifizieren. Nur im Limes ${\displaystyle k\to \infty }$ erhält man das ungewöhnliche Verhalten der Delta-Distribution

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }\delta _{k}(f)=\lim _{k\to \infty }\langle \delta _{k},f\rangle =f(0)=\langle \delta ,f\rangle }$

wobei zu beachten ist, dass die Limes-Bildung nicht unter dem Integral, sondern davor erfolgt. Würde man den Limes unter das Integral ziehen, so wäre ${\displaystyle \delta _{\epsilon }}$ fast überall Null, nur nicht bei ${\displaystyle x=0}$. Ein einzelner Punkt hat jedoch das Lebesgue-Maß Null und das ganze Integral würde verschwinden.

Anschaulich stellt man sich die Delta-Distribution als eine beliebig hohe und beliebig schmale Funktion vor, die über der x-Achse eine Fläche mit Größe 1 Flächeneinheit einschließt. Man lässt nun die Funktion immer schmaler und dafür immer höher werden – die Fläche darunter muss konstant 1 bleiben. Es existieren auch mehrdimensionale Dirac-Distributionen, diese werden anschaulich zu mehrdimensionalen „Keulen“ mit dem Volumen 1.

Im Folgenden werden verschiedene Approximationen (Dirac-Folgen) ${\displaystyle \delta _{\epsilon }(x)}$ angegeben, zunächst stetig differenzierbare:

• Glockenfunktionen (Normalverteilungen)

${\displaystyle \delta _{\epsilon }(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \epsilon }}}\,\exp \left(-{\frac {x^{2}}{2\epsilon }}\right)}$

Die angegebenen Funktionen besitzen ein sehr schmales und sehr hohes Maximum bei ${\displaystyle x=0}$, die Breite ist etwa ${\displaystyle {\sqrt {\epsilon }}\to 0}$ und die Höhe etwa ${\displaystyle 1/{\sqrt {\epsilon }}\to \infty }$. Für alle ${\displaystyle \epsilon }$ ist der Flächeninhalt unter der Funktion 1.

• Lorentzkurven

${\displaystyle \delta _{\epsilon }(x)={\frac {1}{\pi }}{\frac {\epsilon }{x^{2}+\epsilon ^{2}}}}$

• Fresnel-Darstellung

${\displaystyle \delta _{\epsilon }(x)={\frac {1}{\sqrt {\mathrm {i} \pi \epsilon }}}\,\exp \left({\frac {\mathrm {i} x^{2}}{\epsilon }}\right)}$

die man sich vorstellen kann als eine Linie, die auf einen Zylinder gewickelt ist, und deren Wicklungen durch das ${\displaystyle x^{2}}$ immer enger werden; die Grundfläche (in ${\displaystyle x}$-${\displaystyle y}$-Ausrichtung) des Zylinders wird aus dem Imaginär- und Realteil der Funktion gebildet, die Funktion entwickelt sich dann in ${\displaystyle z}$-Richtung.

Es sind aber auch Approximationen möglich, die nur stückweise stetig differenzierbar sind:

• Rechteckfunktion

${\displaystyle \delta _{\epsilon }(x)={\frac {\operatorname {rect} (x/\epsilon )}{\epsilon }}={\begin{cases}{\frac {1}{\epsilon }}&\ |x|\leq {\frac {\epsilon }{2}}\\0&\ {\text{sonst}}\end{cases}}}$

• Dreiecksfunktion

${\displaystyle \delta _{\epsilon }(x)={\begin{cases}{\frac {\epsilon +x}{\epsilon ^{2}}}&\ -\epsilon \leq x\leq 0\\{\frac {\epsilon -x}{\epsilon ^{2}}}&\ 0<x\leq \epsilon \\0&\ {\text{sonst}}\end{cases}}}$

• Exponentialfunktion um Ursprung abfallend

${\displaystyle \delta _{\epsilon }(x)={\frac {1}{2\epsilon }}\exp \left(-{\frac {|x|}{\epsilon }}\right)}$

• Die Funktionenfolge der Sinc-Funktionen

${\displaystyle \delta _{\epsilon }(x)={\frac {1}{\pi x}}\sin \left({\frac {x}{\epsilon }}\right)}$
ist keine Dirac-Folge, da ihre Folgenglieder auch negative Werte annehmen. Betrachtet man allerdings den Ausdruck

${\displaystyle \lim _{\epsilon \to 0}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\pi x}}\sin \left({\frac {x}{\epsilon }}\right)\phi (x)\mathrm {d} x}$

so konvergiert für alle ${\displaystyle \phi \in {\mathcal {D}}}$ diese Folge im distributionellen Sinn gegen die Delta-Distribution.

• Definierende Eigenschaft der Delta-Distribution: Faltungseigenschaft, auch Ausblendeigenschaft^[2], Siebeigenschaft genannt

${\displaystyle \langle \delta ,f\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\delta (x)\,f(x)\,\mathrm {d} x=f(0)}$

bzw. mit den Eigenschaften Translation und Skalierung (siehe unten) folgt:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,\delta (x-a)\,\mathrm {d} x=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,\delta (a-x)\,\mathrm {d} x=f(a),}$

speziell für den Fall der konstanten Funktion 1:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\delta (x-a)\,\mathrm {d} x=1}$

• Linearität:

${\displaystyle \langle \delta ,f+g\rangle =\langle \delta ,f\rangle +\langle \delta ,g\rangle =f(0)+g(0)}$

• Translation:

${\displaystyle \langle \delta (\cdot -a),f\rangle =\langle \delta ,f(\cdot +a)\rangle =f(a)}$

für ${\displaystyle \delta (\cdot -a)}$ ist auch die Bezeichnung ${\displaystyle \delta _{a}}$ gebräuchlich.

• Skalierung:

${\displaystyle \langle \delta (a\cdot ),f\rangle ={\frac {1}{|a|}}\langle \delta ,f({\tfrac {\cdot }{a}})\rangle ={\frac {1}{|a|}}f(0)}$

und

${\displaystyle \delta (\alpha x)={\frac {1}{|\alpha |}}\delta (x)}$

das heißt die Delta-Distribution ist positiv homogen vom Grad −1.

• Dimension

Eine direkte Folgerung aus der Skalierungseigenschaft ist die Dimension bzw. Maßeinheit der Delta-Distribution. Sie entspricht genau der reziproken Dimension ihres Arguments. Hat ${\displaystyle x}$ beispielsweise die Dimension einer Länge, so hat ${\displaystyle \delta (x)}$ die Dimension (1/Länge).

• Hintereinanderausführung:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\phi (x)\,\delta (g(x))\,\mathrm {d} x=\sum _{i=1}^{n}\int _{-\infty }^{\infty }\phi (x){\frac {\delta (x-x_{i})}{|g'(x_{i})|}}\,\mathrm {d} x=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\phi (x_{i})}{|g'(x_{i})|}},}$

${\displaystyle \delta (g(x))=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\delta (x-x_{i})}{|g^{\prime }(x_{i})|}}}$

wobei ${\displaystyle x_{i}}$ die einfachen Nullstellen von ${\displaystyle g(x)}$ sind (sofern ${\displaystyle g(x)}$ nur endlich viele und nur einfache Nullstellen hat). Damit folgt als ein Spezialfall die Rechenregel

${\displaystyle \delta (x^{2}-\alpha ^{2})={\frac {1}{2|\alpha |}}[\delta (x-\alpha )+\delta (x+\alpha )].}$

Die Singularität der Delta-Distribution lässt sich mit einem Widerspruchsbeweis zeigen:

Angenommen ${\displaystyle \delta }$ wäre regulär, dann gäbe es eine lokal integrierbare Funktion ${\displaystyle \delta (x)\in L_{\text{lok}}^{1}}$, also eine Funktion, die über jedes kompakte Intervall ${\displaystyle [a,b]}$ bzgl. des Lebesgue-Maßes integrierbar ist

${\displaystyle \int _{a}^{b}|\delta (x)|\mathrm {d} x<\infty }$

so dass für alle Testfunktionen ${\displaystyle f(x)}$ gilt:

${\displaystyle \langle \delta ,f\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\delta (x)\,f(x)\,\mathrm {d} x=f(0).}$

Insbesondere muss dies für folgende Testfunktion ${\displaystyle \phi _{b}(x)}$ mit kompaktem Träger ${\displaystyle [-b,b]}$ gelten:

${\displaystyle \phi _{b}(x)={\begin{cases}\exp {\Big (}{\frac {b^{2}}{x^{2}-b^{2}}}{\Big )}&|x|<b\\0&|x|\geq b.\end{cases}}}$

Die Wirkung der Delta-Distribution auf diese ist:

${\displaystyle \langle \delta ,\phi _{b}\rangle =\phi _{b}(0)=\exp(-1)=\mathrm {const} _{\,b}.}$

Mit der angenommenen regulären Distribution

${\displaystyle \langle \delta ,\phi _{b}\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\delta (x)\,\phi _{b}(x)\,\mathrm {d} x=\int _{-b}^{b}\delta (x)\,\phi _{b}(x)\,\mathrm {d} x}$

lässt sich folgende Abschätzung durchführen:

${\displaystyle \phi _{b}(0)=|\langle \delta ,\phi _{b}\rangle |=\left|\int _{-b}^{b}\delta (x)\,\phi _{b}(x)\,\mathrm {d} x\right|\leq \underbrace {\|\phi _{b}(x)\|_{\infty }} _{\phi _{b}(0)}\,\int _{-b}^{b}|\delta (x)|\,\mathrm {d} x{\underset {(b<b_{c})}{<}}\phi _{b}(0).}$

Weil ${\displaystyle \delta (x)\in L_{lok}^{1}}$ wird das Integral ${\displaystyle \textstyle \int _{-b}^{b}|\delta (x)|\,\mathrm {d} x}$ für ${\displaystyle b<b_{c}}$ (wobei ${\displaystyle b_{c}}$ ein von der Funktion ${\displaystyle \delta (x)}$ abhängiger kritischer Wert ist) kleiner 1 (und konvergiert gegen 0 für ${\displaystyle b}$ gegen 0). Man erhält ${\displaystyle \phi _{b}(0)<\phi _{b}(0)}$, also einen Widerspruch; somit ist die Delta-Distribution nicht durch eine lokal integrierbare Funktion darstellbar. Der Widerspruch ergibt sich, weil die Menge {0} für das Lebesgue-Maß vernachlässigbar ist, nicht aber für das Dirac-Maß.

Die Delta-Distribution kann wie jede Distribution beliebig oft distributiv differenziert werden:

${\displaystyle \langle \delta ',f\rangle =-\langle \delta ,f'\rangle =-f'(0).}$

Dies gilt auch für die ${\displaystyle n}$-te distributive Ableitung:

${\displaystyle \langle \delta ^{(n)},f\rangle =(-1)^{n}\langle \delta ,f^{(n)}\rangle =(-1)^{n}f^{(n)}(0).}$

Die Ableitungen der regulären Distributionen ${\displaystyle \delta _{\epsilon }}$ können mittels partieller Integration berechnet werden (hier exemplarisch für erste Ableitung, analog für höhere)

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle \delta _{\epsilon }^{\prime },f\rangle &=\int _{-\infty }^{\infty }\delta _{\epsilon }^{\prime }(x)\,f(x)\,\mathrm {d} x\\&=\underbrace {\left[\delta _{\epsilon }(x)\,f(x)\right]_{-\infty }^{\infty }} _{=0}-\int _{-\infty }^{\infty }\delta _{\epsilon }(x)\,f^{\prime }(x)\,\mathrm {d} x\\&=-\int _{-\infty }^{\infty }\delta _{\epsilon }(x)\,f^{\prime }(x)\,\mathrm {d} x\\&=-\langle \delta _{\epsilon },f^{\prime }\rangle \end{aligned}}}$

und ergeben im Limes ${\displaystyle \epsilon \to 0}$ das Verhalten der distributiven Ableitung:

${\displaystyle \lim _{\epsilon \to 0}\langle \delta _{\epsilon }^{\prime },f\rangle =-f^{\prime }(0)=\langle \delta ^{\prime },f\rangle .}$

Die Heaviside-Funktion ${\displaystyle \Theta (x)}$ ist nicht stetig differenzierbar, aber die distributive Ableitung existiert, diese ist nämlich die Delta-Distribution:

${\displaystyle \langle \Theta ',f\rangle =-\langle \Theta ,f'\rangle =-\int _{-\infty }^{\infty }\Theta (x)\,f'(x)\,\mathrm {d} x=-\int _{0}^{\infty }f'(x)\,\mathrm {d} x=-\underbrace {f(\infty )} _{=0}+f(0)=\langle \delta ,f\rangle .}$

Da die Heaviside-Distribution keinen kompakten Träger hat, müssen hier die Testfunktionen beliebig oft differenzierbare Funktionen mit kompaktem Träger sein ${\displaystyle f\in C_{0}^{\infty }\cong {\mathcal {D}}}$, das heißt ${\displaystyle f}$ muss im Unendlichen verschwinden.

Da die Delta-Distribution einen kompakten Träger hat, ist es möglich, die Fourier-Laplace-Transformation dieser zu bilden. Für diese gilt

${\displaystyle {\hat {\delta }}=1\,.}$

Die Fourier-Laplace-Transformation ist ein Spezialfall der Fourier-Transformation und somit gilt auch

${\displaystyle {\mathcal {F}}(\delta )(\phi )=\delta ({\mathcal {F}}(\phi ))=\delta \left(\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} x\xi }\phi (x)\mathrm {d} x\right)=\langle 1,\phi \rangle \,.}$

Es gibt auch die Konvention, den Faktor ${\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {2\pi }}}}$ mit der Fourier-Transformation zu multiplizieren. In dem Fall ist ${\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {2\pi }}}}$ ebenfalls das Ergebnis der Fourier-Transformation der Delta-Distribution. Anschaulich bedeutet das Resultat der Transformation, dass in der Delta-Distribution alle Frequenzen enthalten sind, und zwar mit gleicher Stärke. Die Darstellung ${\displaystyle \delta (x)={\mathcal {F}}^{-1}(1)}$ (beziehungsweise ${\displaystyle \delta (x)={\mathcal {F}}^{-1}({\tfrac {1}{\sqrt {2\pi }}})}$ bei der anderen Konvention für den Vorfaktor) ist eine in der Physik wichtige Darstellung der Delta-Distribution.

Die Laplace-Transformation ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ der Delta-Distribution erhält man als Spezialfall der Fourier-Laplace-Transformation. Es gilt nämlich auch hier

${\displaystyle {\mathcal {L}}(\delta )=1\,.}$

Im Gegensatz zur Fourier-Transformation gibt es hier keine anderen Konventionen.

Oftmals werden die Fourier beziehungsweise die Laplace-Transformation durch die gewöhnliche Integralschreibweise dargestellt. Jedoch sind diese Darstellungen

${\displaystyle {\mathcal {F}}(\delta )(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \xi x}\,\delta (x)\,\mathrm {d} x}$

für die Fourier-Transformation beziehungsweise

${\displaystyle {\mathcal {L}}(\delta )(\xi )=\int _{0}^{\infty }\mathrm {e} ^{-\xi x}\,\delta (x)\,\mathrm {d} x}$

für die Laplace-Transformation nur symbolisch zu verstehen und mathematisch nicht definiert.

Es ist ebenfalls möglich die Fourier-Transformation beziehungsweise die Laplace-Transformation für die um ${\displaystyle a>0}$ verschobene Delta-Distribution ${\displaystyle \delta _{a}}$ zu berechnen. Es gilt

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {F}}(\delta _{a})&=\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \xi a}\\{\mathcal {L}}(\delta _{a})&=\mathrm {e} ^{-\xi a}.\end{aligned}}}$

Praktische Bedeutung hat der Dirac-Stoß bei der Ermittlung der Impulsantwort in der Akustik (in anderen Sparten der Physik spricht man auch von einer ${\displaystyle \delta }$-Größe, wenn man meint, dass die betreffende Größe einer schmalst-möglichen Verteilung genügt). So hat jeder Raum ein eigenes Schallverhalten. Mit einem Dirac-Impuls (angenähert durch ein Klatschen mit den Händen) kann dieses Verhalten (durch Messen des „Echos“, also der Systemantwort) ermittelt werden.

Typische, technisch realisierbare Dirac-Werte:

• Hochspannungstechnik ca. 1–100 ns Halbwertsbreite
• Hochfrequenztechnik ca. 10–100 ps Halbwertsbreite
• Pulslasertechnik ca. 10–100 fs Halbwertsbreite

Eine wichtige Anwendung der Delta-Distribution ist die Lösung inhomogener linearer gewöhnlicher und partieller Differentialgleichungen mit der Methode der Greenschen Funktion.

Im Mehrdimensionalen ist der Raum der Testfunktionen ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ gleich ${\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$, der Raum der beliebig oft total differenzierbaren Funktionen ${\displaystyle f\colon \,\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$.

Die Delta-Distribution hat auf die Testfunktion ${\displaystyle f\colon \,\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ die folgende Wirkung:

${\displaystyle \delta \colon \,{\mathcal {E}}\to \mathbb {R} \,,\ f\mapsto f({\vec {0}})}$

In der informellen Integralschreibweise unter Verwendung von Translation und Skalierung:

${\displaystyle \int f({\vec {x}})\,\delta ({\vec {x}}-{\vec {a}})\,\mathrm {d} ^{n}x=\int f({\vec {x}})\,\delta ({\vec {a}}-{\vec {x}})\,\mathrm {d} ^{n}x=f({\vec {a}})}$.

Die „mehrdimensionale“ Delta-Distribution lässt sich als Produkt von „eindimensionalen“ Delta-Distributionen schreiben:

${\displaystyle \delta ({\vec {x}}-{\vec {a}})=\delta (x_{1}-a_{1})\,\delta (x_{2}-a_{2})\,\dots \,\delta (x_{n}-a_{n})}$.

Speziell im Dreidimensionalen gibt es eine Darstellung der Delta-Distribution, die häufig in der Elektrodynamik eingesetzt wird, um Punktladungen darzustellen:

${\displaystyle \delta ({\vec {x}}-{\vec {a}})=-{\frac {1}{4\pi }}\Delta {\frac {1}{\|{\vec {x}}-{\vec {a}}\|_{2}}}}$.

In krummlinigen Koordinatensystemen muss die Funktionaldeterminante

${\displaystyle \mathrm {d} ^{3}r=\mathrm {d} x~\mathrm {d} y~\mathrm {d} z=\det {\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (a,b,c)}}~\mathrm {d} a~\mathrm {d} b~\mathrm {d} c}$

berücksichtigt werden.^[3]

Der Ansatz

${\displaystyle \delta ({{\vec {r}}-{\vec {r}}_{0}})=\gamma (a,b,c)~\delta (a-a_{0})~\delta (b-b_{0})~\delta (c-c_{0})}$

mit ${\displaystyle {\vec {r}}=(a,b,c)}$ und ${\displaystyle {\vec {r}}_{0}=(a_{0},b_{0},c_{0})}$ führt dabei auf die Gleichung

${\displaystyle \int _{V}\delta ({\vec {r}}-{\vec {r}}_{0})~\mathrm {d} ^{3}r=\iiint _{V}\det {\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (a,b,c)}}~\gamma (a,b,c)~\delta (a-a_{0})~\delta (b-b_{0})~\delta (c-c_{0})~\mathrm {d} a~\mathrm {d} b~\mathrm {d} c~{\stackrel {!}{=}}~1}$, falls ${\displaystyle {\vec {r}}_{0}\in V}$.

Daran lässt sich ablesen, dass gelten muss

${\displaystyle \gamma =\left(\left.\det {\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (a,b,c)}}\right|_{{\vec {r}}_{0}}\right)^{-1}}$.

In krummlinigen Koordinatensystem muss die Delta-Distribution also mit einem Vorfaktor versehen werden, der dem Kehrwert der Funktionaldeterminante entspricht.

In Kugelkoordinaten mit ${\displaystyle {\vec {r}}=(r,\theta ,\phi )}$ und ${\displaystyle {\vec {r}}_{0}=(r_{0},\theta _{0},\phi _{0})}$ gilt:

${\displaystyle \delta ({\vec {r}}-{\vec {r}}_{0})={\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}~\delta (r-r_{0})~\delta (\theta -\theta _{0})~\delta (\phi -\phi _{0})}$

In Zylinderkoordinaten mit ${\displaystyle {\vec {r}}=(\rho ,\phi ,z)}$ und ${\displaystyle {\vec {r}}_{0}=(\rho _{0},\phi _{0},z_{0})}$ gilt:

${\displaystyle \delta ({\vec {r}}-{\vec {r}}_{0})={\frac {1}{\rho }}~\delta (\rho -\rho _{0})~\delta (\phi -\phi _{0})~\delta (z-z_{0})}$

• Dirac-Identität
• Kronecker-Delta

• Dieter Landers, Lothar Rogge: Nichtstandard Analysis. Springer-Verlag, Berlin u. a. 1994, ISBN 3-540-57115-9 (Springer-Lehrbuch).
• Wolfgang Walter: Einführung in die Theorie der Distributionen. 3. vollständig überarbeitete und erweiterte Auflage. BI-Wissenschafts-Verlag, Mannheim u. a. 1994, ISBN 3-411-17023-9.
• F. G. Friedlander: Introduction to the Theory of Distributions. With additional material by M. Joshi. 2. edition. Cambridge University Press, Cambridge u. a. 1998, ISBN 0-521-64015-6.

1. ↑ Hans Wilhelm Alt: Lineare Funktionalanalysis: eine anwendungsorientierte Einführung. 5. überarb. Auflage. Springer-Verlag, Berlin u. a., 2006, ISBN 3-540-34186-2, Seite 109.
2. ↑ Rüdiger Hoffmann: Grundlagen der Frequenzanalyse. Eine Einführung für Ingenieure und Informatiker. Mit 11 Tabellen Expert Verlag, 2005, ISBN 978-3-8169-2447-0, S. 26.
3. ↑ Wolfgang Nolting: Grundkurs Theoretische Physik 3. Elektrodynamik. Berlin, Heidelberg, New York: Springer, 2007, ISBN 978-3-540-71251-0.