Franz Jobst wurde als jüngstes von zehn Kindern eines Beamten in Hallein geboren. Als er sechs Jahre alt war, wurde sein Vater nach Linz versetzt. Dort besuchte Franz Jobst die Volksschule und die Realschule und machte anschließend eine Lehre im Kirchenkunstatelier von Ferdinand Scheck in Linz, wo sein älterer Bruder Karl bereits in Ausbildung war. Zusammen mit seinem Bruder war er unter der Aufsicht von Adalbert Stifter an der Restaurierung des gotischen Pesenbacher Flügelaltares beteiligt und fertigte Zeichnungen von allen wichtigen gotischen Schnitzwerken in Oberösterreich an, die 1861 unter dem Titel Sammlung mittelalterlicher Kunstwerke aus Österreich veröffentlicht wurden.
1864 trat Franz Jobst in die Dombauhütte von St. Stephan ein und war bis 1869 Schüler und Helfer Friedrich von Schmidts. 1869 reiste er mit einem staatlichen Stipendium nach Italien, wo er insbesondere alte Glasgemälde studierte. Nach seiner Rückkehr nach Wien gründete er mit seinem Bruder die Dekorationsfirma „F. & C. Jobst“, die auf Neuausstattungen und Restaurierungen, insbesondere von kirchlichen Bauten spezialisiert war. Zu seinen Werken gehören Fresken, Dekorationsmalereien und Entwürfe für Glasfenster. Er wurde wie sein Bruder mit dem Goldenen Verdienstkreuz mit der Krone ausgezeichnet.
1869 heiratete er Antonie Seyfried (* 1848), das Paar hatte drei Söhne.
Ferdinand Krackowizer, Franz Berger: Jobst, Franz. In: Biographisches Lexikon des Landes Österreich ob der Enns. Gelehrte, Schriftsteller und Künstler Oberösterreichs seit 1800. Institut für Ostbairische Heimatforschung, Passau / Linz a. Donau 1931, S.140 (Digitalisat bei Austrian Literature Online).