Alekseïev est repêché au 3e rang au total par le Metallourg Novokouznetsk lors du repêchage 2016 de la KHL. La même année, il est également sélectionné par les Rebels de Red Deer au repêchage européen de la LCH. À la suite de sa sélection avec Red Deer, il décide de quitter la Russie pour venir jouer en Amérique du Nord. Il entame ainsi sa carrière junior avec les Rebels, dans la LHOu, en 2016-2017.
À la fin de la saison 2017-2018, il est éligible au repêchage d'entrée dans la LNH 2018. Le , il est choisi en 1er ronde, 31e au total, par les Capitals de Washington. Le , il signe son premier contrat professionnel d'une durée de 3 ans avec les Capitals.
