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Le caractère de Chern est une construction mathématique permettant d'étudier la cohomologie en K-théorie. Il est défini à partir de la théories des classes de Chern et est notamment l'objet du théorème de Grothendieck-Hirzebruch-Riemann-Roch.

La classe de Chern totale transporte les sommes directes en cup-produits. L'idée derrière la définition du caractère de Chern est de mettre au point une construction algébrique qui envoie les sommes directes sur les sommes et les produits tensoriels sur les cup-produits, constituant alors un homomorphisme d'anneaux de la K-théorie sur la cohomologie.

Pour qu'une telle construction soit possible, il faut considérer l'homologie à coefficients rationnels. On définit alors le caractère de Chern sur un fibré en droites, puis on invoque le lemme de séparation pour s'assurer que les propriétés souhaitées sont vérifiées pour des sommes de fibrés.

Il s'avère que cette expression ne dépend que des classes de Chern, et peut donc s'appliquer à tout fibré vectoriel. On a finalement l'homomorphisme souhaité

${\displaystyle \mathrm {ch} :K(X)\to H^{\bullet }(X;\mathbb {Q} )}$

entre le groupe de K-théorie et l'anneau de cohomologie rationnel.

Si ${\displaystyle V=L_{1}\oplus \cdots \oplus L_{n}}$ est une somme directe de fibrés en droites, ayant pour premières classes de Chern ${\displaystyle x_{i}=c_{1}(L_{i}),}$ le caractère de Chern de V est défini par :

${\displaystyle \operatorname {ch} (V)=e^{x_{1}}+\cdots +e^{x_{n}}=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {1}{m!}}(x_{1}^{m}+\cdots +x_{n}^{m})}$.

Pour tout fibré vectoriel V, on définit son caractère de Chern comme étant la série formelle, obtenue en développant l'expression exponentielle :

${\displaystyle \operatorname {ch} (V)=\operatorname {dim} (V)+c_{1}(V)+{\frac {1}{2}}\left(c_{1}(V)^{2}-2c_{2}(V)\right)+{\frac {1}{6}}\left(c_{1}(V)^{3}-3c_{1}(V)c_{2}(V)+3c_{3}(V)\right)+\cdots }$

qui dépend uniquement des classes de Chern du fibré considéré. Cette expression coïncide avec la précédente dans le cas où V se décompose en somme de fibrés en droites.

On peut transporter cette expression directement dans le cas des faisceaux cohérents (en) V

${\displaystyle \operatorname {ch} (V)=\operatorname {rk} (V)+c_{1}(V)+{\frac {1}{2}}\left(c_{1}(V)^{2}-2c_{2}(V)\right)+{\frac {1}{6}}\left(c_{1}(V)^{3}-3c_{1}(V)c_{2}(V)+3c_{3}(V)\right)+\cdots }$

où ${\displaystyle \mathrm {rk} \,V}$ désigne le rang du faisceau en un point générique.

Le caractère de Chern est un homomorphisme d'anneaux, et vérifie donc les propriétés suivantes :

• ${\displaystyle \mathrm {ch} (V\oplus W)=\mathrm {ch} (V)+\mathrm {ch} (W)}$ (il s'agit d'un homomorphisme de groupes abéliens)
• ${\displaystyle \mathrm {ch} (V\otimes W)=\mathrm {ch} (V)\smile \mathrm {ch} (W)}$ (cet homomorphisme respecte les produits)
• Pour toute suite exacte courte de fibrés vectoriels de la forme ${\displaystyle 0\to A\to B\to C\to 0}$ on a ${\displaystyle \mathrm {ch} (B)=\mathrm {ch} (A)+\mathrm {ch} (C)}$

• Classe de Todd
• Identités de Newton#Expression des sommes de Newton

• Luc Illusie, « Caractère de Chern. Classe de Todd », Séminaire Henri Cartan, t. 16, n^o 1,‎ 1964, p. 1-9 (lire en ligne)
• (en) A.F. Kharshiladze, « Chern character », dans Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics, Springer, 2002 (ISBN 978-1556080104, lire en ligne)

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