Constante de Rydberg

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Constante de Rydberg

Données clés

Unités SI	mètre-1
Dimension	${\displaystyle [R_{\infty }]=}$L −1
Nature	Grandeur scalaire
Symbole usuel	${\displaystyle R_{\infty }}$
Lien à d'autres grandeurs	${\displaystyle R_{\infty }={\frac {m_{\mathrm {e} }\alpha ^{2}c}{2h}}={\frac {m_{\text{e}}e^{4}}{8\varepsilon _{0}^{2}h^{3}c}}}$
Valeur	${\displaystyle R_{\infty }=1{,}097\,373\dots \times 10^{7}\;{\rm {m^{-1}}}}$

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La constante de Rydberg, nommée en l'honneur du physicien Johannes Rydberg, est une constante physique découverte en mesurant le spectre de l'hydrogène. Son unité est le mètre à la puissance moins un (m^-1).

Elle est définie à partir des résultats d'Anders Jonas Ångström et Johann Jakob Balmer. Chaque élément chimique a sa propre constante de Rydberg, qui peut être obtenue à partir de la constante ${\displaystyle R_{\infty }}$ de Rydberg.

La constante « infinie » de Rydberg est (d'après les résultats de 2014 de CODATA)^[1]:

${\displaystyle R_{\infty }={\frac {m_{\mathrm {e} }\alpha ^{2}c}{2h}}={\frac {m_{\text{e}}e^{4}}{8\varepsilon _{0}^{2}h^{3}c}}=1{,}097\,373\,156\,850\,8(65)\times 10^{7}\;{\rm {m^{-1}}}}$

où :

${\displaystyle m_{\text{e}}}$ est la masse de l'électron

${\displaystyle e}$ est la charge de l'électron

${\displaystyle \alpha }$ est la constante de structure fine

${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ est la permittivité du vide

${\displaystyle h}$ est la constante de Planck

${\displaystyle c}$ est la vitesse de la lumière

Elle est également convertie en une constante énergétique :

${\displaystyle R_{\mathrm {y} }=h\,c\,R_{\infty }=13{,}605\,693\,009(84)\;{\rm {eV}}}$

Cette constante est souvent utilisée en physique atomique, car elle correspond à l'énergie d'ionisation d'un système hydrogénoïde dans lequel la masse du noyau est considérée comme infinie. Dans l'atome d'hydrogène, la masse de l'électron entraîne une petite correction, et l'énergie d'ionisation est donnée par :

${\displaystyle R_{\mathrm {H} }={\frac {R_{\mathrm {y} }}{1+{\frac {m_{\mathrm {e} }}{m_{\mathrm {p} }}}}}}$, où ${\displaystyle m_{\mathrm {e} }}$ et ${\displaystyle m_{\mathrm {p} }}$ sont les masses de l'électron et du proton.

En inversant la constante de Rydberg, on obtient :

${\displaystyle R_{\infty }^{-1}=2\,\lambda _{\mathrm {e} }\alpha ^{-2}}$

avec :

• la longueur d'onde de Compton pour l'électron, ${\displaystyle \lambda _{\mathrm {e} }}$
• la constante de structure fine, ${\displaystyle \alpha }$

La constante de Rydberg peut aussi s'écrire

${\displaystyle 1\ R_{\mathrm {y} }\equiv hcR_{\infty }\equiv {\frac {1}{2}}\ \alpha ^{2}m_{\mathrm {e} }c^{2}}$

L'analyse dimensionnelle confirme par :

${\displaystyle {\frac {[M]\;[M^{2}L^{6}T^{-8}Q^{-4}T^{4}]\;[Q^{4}]}{[M^{3}L^{6}T^{-3}]\;[LT^{-1}]}}}$

Où l'on reconnait dans l'ordre au numérateur : la masse de l'électron, le carré de l'inverse de la permittivité et la charge élémentaire en puissance 4 ; et au dénominateur : la constante de Planck en puissance 3 et la célérité de la lumière. Les masses, les longueurs et les charges Q s'annulent et il ne reste à simplifier que la dimension propre au temps :

${\displaystyle {\frac {T^{-8}T^{4}}{T^{-3}LT^{-1}}}}$

Après annulation du temps [T], il ne reste qu'une dimension en 1/r comme attendu pour cette constante : ${\displaystyle [L^{-1}]}$

On doit rappeler cependant que la permittivité dans le vide ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ est liée à ${\displaystyle \mu _{0}}$ par la constante ${\displaystyle c^{2}}$. Or ${\displaystyle \mu _{0}}$ est normalisé à 10^-7 (anciennement 1 dans le système CGS). La relation est :

${\displaystyle \varepsilon _{0}={\frac {1}{\mu _{0}\,c^{2}}}}$

La constante notée « infinie » apparaît dans la formule qui donne la constante de Rydberg pour un certain atome, de numéro atomique Z, avec un électron de masse inerte ${\displaystyle m_{e}}$ et dont la masse du noyau est ${\displaystyle M}$ :

${\displaystyle R_{M}={\frac {Z^{2}R_{\infty }}{1+{\frac {m_{e}}{M}}}}}$

Comme la formule donnant la constante de Rydberg ne présente pas moins de cinq autres constantes physiques :

• la charge élémentaire ${\displaystyle e}$ ;
• la masse inerte de l'électron ${\displaystyle m_{e}}$ ;
• la permittivité du vide ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ ;
• la constante de Planck ${\displaystyle h}$
• et la vitesse de la lumière dans le vide ${\displaystyle c}$ ;

sa mesure précise est un avantage indéniable en métrologie ; or c'est une des constantes physiques les mieux déterminées, parce qu'obtenue à partir de la spectroscopie des raies extrêmement fines. La mesure précise de la constante de Rydberg sert à l'évaluation des cinq autres constantes, dans les mesures dites CODATA.

• [Gyllenbok 2018] (en) Jan Gyllenbok, Encyclopaedia of historical metrology, weights, and measures [« Encyclopédie de métrologie historique, des poids, et
  des mesures »], t. 1^er, Bâle, Birkhäuser et Cham, Springer, coll. « Science networks / Historical studies » (n^o 56), 25 avr. 2018, 1^re éd., 1 vol., XIX-677,
  ill., 17,8 × 25,4 cm (ISBN 978-3-319-57596-4 et 978-3-030-09624-3, EAN 9783319575964, OCLC 1041128686, BNF 45785961, DOI 10.1007/978-3-319-57598-8, SUDOC 22759147X, présentation en ligne, lire en ligne), s.v.Rydberg constant, p. 198-199.
• (en) Jonathan Law et Richard Rennie, A Dictionary of Physics, Oxford University Press, 2015 (ISBN 9780191783036, lire en ligne)
• [Taillet, Villain et Febvre 2018] Richard Taillet, Loïc Villain et Pascal Febvre, Dictionnaire de physique, Louvain-la-Neuve, De Boeck Supérieur, hors coll., janv. 2018, 4^e éd. (1^re éd. mai 2008), 1 vol., X-956, ill., fig. et graph., 17 × 24 cm (ISBN 978-2-8073-0744-5, EAN 9782807307445, OCLC 1022951339, BNF 45646901, SUDOC 224228161, présentation en ligne, lire en ligne), s.v.Rydberg (constante de), p. 661, col. 1.

• Formule de Rydberg
• Johannes Rydberg
• Modèle de Bohr
• Spectre de l'hydrogène

• « L'expression de la constante de Rydberg », sur Unisciel.

v · m Spectre de l'hydrogène
Séries	Série de Lyman Série de Balmer Série de Paschen Série de Brackett Série de Pfund Série de Humphreys Série de Hansen-Strong
Formules	Constante de Rydberg Formule de Rydberg
Sous-structures	Structure fine Structure hyperfine Décalage de Lamb
Atome d'hydrogène Modèle de Bohr

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