La constante parabolique universelle est la longueur rouge divisée par la demi longueur bleue (ou la longueur verte). La constante parabolique universelle est une constante mathématique .
Elle est définie comme le rapport, noté P , pour toute parabole , de la longueur de l'arc de la parabole délimité par la corde focale , par la demi-longueur de cette corde, le paramètre
p
{\displaystyle p}
foyer à la directrice, notée L dans la figure ci-contre.
La valeur de la constante parabolique est donnée par :
P
=
ln
-->
(
1
+
2
)
+
2
=
2,295
58714939
… … -->
{\displaystyle P=\ln(1+{\sqrt {2}})+{\sqrt {2}}=2{,}29558714939\dots }
(suite A103710 de l'OEIS ).
Soit
y
=
x
2
2
p
{\textstyle y={\frac {x^{2}}{2p}}}
P
:=
1
p
∫ ∫ -->
− − -->
p
p
1
+
(
y
′
(
x
)
)
2
d
x
=
1
p
∫ ∫ -->
− − -->
p
p
1
+
x
2
p
2
d
x
=
∫ ∫ -->
− − -->
1
1
1
+
t
2
d
t
(
x
=
p
t
)
=
arsinh
-->
(
1
)
+
2
=
ln
-->
(
1
+
2
)
+
2
.
{\displaystyle {\begin{aligned}P&:={\frac {1}{p}}\int _{-p}^{p}{\sqrt {1+\left(y'(x)\right)^{2}}}\,dx\\&={\frac {1}{p}}\int _{-p}^{p}{\sqrt {1+{\frac {x^{2}}{p^{2}}}}}\,dx\\&=\int _{-1}^{1}{\sqrt {1+t^{2}}}\,dt&(x=pt)\\&=\operatorname {arsinh} (1)+{\sqrt {2}}\\&=\ln(1+{\sqrt {2}})+{\sqrt {2}}.\end{aligned}}}
P est un nombre transcendant .
Preuve . Supposons que P soit algébrique . Alors
P
− − -->
2
=
ln
-->
(
1
+
2
)
{\displaystyle \!\ P-{\sqrt {2}}=\ln(1+{\sqrt {2}})}
théorème d'hermite-Lindemann ,
e
ln
-->
(
1
+
2
)
=
1
+
2
{\displaystyle \!\ e^{\ln(1+{\sqrt {2}})}=1+{\sqrt {2}}}
P est transcendant.On en déduit que P est irrationnel .
Pour un cercle, le rapport analogue est égal à sa demi-longueur divisée par son rayon, soit le nombre
π π -->
{\displaystyle \pi }
Pour une conique d'excentricité e , le rapport analogue est égal à
C
(
e
)
=
2
∫ ∫ -->
0
π π -->
/
2
ρ ρ -->
2
+
ρ ρ -->
′
2
d
θ θ -->
{\displaystyle C(e)=2\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {\rho ^{2}+\rho '^{2}}}d\theta }
ρ ρ -->
=
1
1
+
e
cos
-->
θ θ -->
{\displaystyle \rho ={\frac {1}{1+e\cos \theta }}}
intégrale elliptique . On vérifie que
C
(
1
)
=
P
{\displaystyle C(1)=P}
C
(
0
)
=
π π -->
{\displaystyle C(0)=\pi }
Autre apparition de cette constante
La distance moyenne d'un point choisi au hasard dans un carré de côté 2a à son centre est
d
m
=
P
3
a
≈ ≈ -->
0
,
77
a
.
{\displaystyle d_{\text{m}}={P \over 3}a\approx 0,77a.}
Preuve .
d
m
:=
2
a
2
∫ ∫ -->
0
a
∫ ∫ -->
0
x
x
2
+
y
2
d
y
d
x
=
2
a
2
∫ ∫ -->
0
a
x
2
∫ ∫ -->
0
1
1
+
t
2
d
t
d
x
=
P
a
2
∫ ∫ -->
0
a
x
2
d
x
=
P
3
a
.
{\displaystyle {\begin{aligned}d_{\text{m}}&:={\frac {2}{a^{2}}}\int _{0}^{a}\int _{0}^{x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\,dy\,dx\\&={\frac {2}{a^{2}}}\int _{0}^{a}x^{2}\int _{0}^{1}{\sqrt {1+t^{2}}}\,dt\,dx\\&={\frac {P}{a^{2}}}\int _{0}^{a}x^{2}\,dx\\&={P \over 3}a.\end{aligned}}}
Remarque :
la distance moyenne d'un point choisi au hasard dans un disque de rayon a à son centre est égale à
2
3
a
{\displaystyle {\frac {2}{3}}a}
la distance moyenne entre deux points du carré unité vaut
2
+
2
+
5
ln
-->
(
2
+
1
)
15
≈ ≈ -->
0
,
5214
{\displaystyle {\frac {2+{\sqrt {2}}+5\ln({\sqrt {2}}+1)}{15}}\approx 0,5214}
A091505 de l'OEIS .
