Théorème d'Hermite-Lindemann

Le théorème d’Hermite-Lindemann affirme que si a est un nombre algébrique non nul (réel ou complexe), alors le nombre e^a est transcendant.

Il fut démontré en 1882 par Ferdinand von Lindemann^[1].

En 1885, Karl Weierstrass en donna une généralisation, connue sous le nom de théorème de Lindemann-Weierstrass.

Une généralisation plus récente est le théorème de Baker.

Si b est un nombre algébrique non nul différent de 1, toutes les déterminations de son logarithme complexe sont transcendantes.

En particulier, si b > 0 et b ≠ 1 est algébrique (par exemple un entier ≥ 2) , alors ln b est transcendant.

En particulier, e = e¹ est transcendant (résultat montré par Charles Hermite en 1873^[2] : c’est le théorème d’Hermite).

De même, iπ, donc π, sont transcendants puisque e^iπ = –1 est algébrique.

L'approche originelle d'Hermite pour e a été simplifiée et étendue à π par David Hilbert (en 1893)^[3],[4], pour finalement devenir élémentaire grâce à Adolf Hurwitz et Paul Albert Gordan. Pour adapter à π la stratégie pour e, des faits à propos des polynômes symétriques jouent un rôle crucial.

Pour des informations détaillées concernant les démonstrations de la transcendance de e et π, voir les références et les annexes.

On déduit du théorème d'Hermite-Lindemann la transcendance de tout nombre non nul t dont le sinus ou le cosinus est algébrique. En effet, compte tenu des formules d'Euler (les relations entre cos(t), sin(t) et e^it), dès que l’un des trois est algébrique, tous trois le sont, en particulier e^it est algébrique, si bien que par contraposée du théorème, le nombre it est transcendant donc t aussi.

On en déduit par exemple que le nombre de Dottie, solution de ${\displaystyle \cos t=t}$ est transcendant.

Pierre-Laurent Wantzel avait montré en 1837 que le problème de l'impossibilité de la quadrature du cercle pouvait être déduit de l'hypothétique transcendance du nombre π (voir théorème de Wantzel pour plus de détails). En prouvant que π n’est pas algébrique, Lindemann parvient donc à montrer qu’il est impossible de construire à la règle et au compas un carré de même aire qu’un disque donné, résolvant ainsi par la négative l’un des plus anciens problèmes de mathématiques depuis l’Antiquité.

• (en) Alan Baker, Transcendental Number Theory, CUP, 1990 (1^re éd. 1975) (ISBN 978-0-521-39791-9, lire en ligne)
• (de) Rudolf Fritsch, « Transzendenz von e im Leistungskurs? », Der mathematische und naturwissenschaftliche Unterricht, vol. 42,‎ 1989, p. 75-80 (lire en ligne)

• (en) « e is transcendental », sur PlanetMath, 22 mars 2013 (consulté le 14 mars 2019) (preuve de la transcendance de e, accompagnée d'une référence bibliographique)
• (en) « Proof of Lindemann-Weierstrass theorem and that e and π are transcendental », sur PlanetMath (démonstration de la transcendance de e et π, puis du théorème de Lindemann-Weierstrass complet, tirée de Baker 1990, p. 4-8 et détaillée)
• Transcendance de e et π pour les nuls (mémoire de licence 1^re année sous la direction d'Alain Prouté, Université Paris-Diderot)

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