Droite de Henry

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En statistique, la droite de Henry est une méthode graphique pour ajuster une distribution gaussienne à celle d'une série d'observations (d'une variable numérique continue). En cas d'ajustement, elle permet de lire rapidement la moyenne et l'écart type d'une telle distribution.

C'est une méthode voisine de la technique du diagramme quantile-quantile appliquée aux distributions normales.

Histoire

Cette droite porte le nom du polytechnicien P.J.P. Henri (ou Henry) (1848 - 1907) qui l'a mise au point et en a enseigné l'utilisation à l'école d'artillerie dans les années 1880. Jules Haag l'introduisit par la suite dans son cours à l'école d'artillerie de Fontainebleau^[1].

Principe

Soit $X$ une variable gaussienne de moyenne $x$ et de variance $σ 2$ . Si $N$ est une variable de loi normale centrée réduite, on a les égalités suivantes :

\mathbb {P} (\mathrm {X} <x)=\mathbb {P} \left({\frac {\mathrm {X} -{\overline {x}}}{\sigma }}<{\frac {x-{\overline {x}}}{\sigma }}\right)=\mathbb {P} (\mathrm {N} <t)=\Phi (t)

, avec

t={\frac {x-{\overline {x}}}{\sigma }}

(on note $Φ$ la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite).

Pour chaque valeur $x i$ de la variable $X$ , on peut, à l'aide d'une table de la fonction $Φ$ :

calculer $\mathbb {P} (X<x_{i})$ ;
en déduire $t i$ tel que $\Phi (t_{i})=\mathbb {P} (X<x_{i})$ .

Si la variable est gaussienne, les points de coordonnées $(x i; t i)$ sont alignés sur la droite d'équation

t={\frac {x-{\overline {x}}}{\sigma }}

. C'est la droite de Henry.

On compare donc les valeurs des quantiles de la loi empirique ( $x i$ ) aux quantiles de la loi normale centrée réduite $t i$ .

Cette méthode peut également se généraliser à d'autres distributions en comparant là encore les quantiles théoriques aux quantiles empiriques ; on parle parfois de « tracé quantile-quantile ».

Exemple numérique

Lors d'un examen noté sur 20, on obtient les résultats suivants :

10 % des candidats ont obtenu moins de 4
30 % des candidats ont obtenu moins de 8
60 % des candidats ont obtenu moins de 12
80 % des candidats ont obtenu moins de 16

On cherche à déterminer si la distribution des notes est gaussienne, et, si oui, ce que valent son espérance et son écart type.

On connaît donc 4 valeurs $x i$ , et, pour ces 4 valeurs, on connaît $P(X < x i)$ .

En utilisant la table de la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite, on détermine les $t i$ correspondants :

$x i$	$P(X< x i) = Φ(t i)$	$t i$
4	0,10	-1,28
8	0,30	-0,524
12	0,60	0,253
16	0,80	0,842

On trace les points de coordonnées $(x i; t i)$ .

Les points paraissent alignés ; la droite coupe l'axe des abscisses au point d'abscisse 11 et le coefficient directeur $1/ σ$ est (0,842 +1,28)/12 environ, ce qui donnerait un écart type $σ$ de 12/2,12 = 5,7.

Article détaillé : régression linéaire#Modèle linéaire simple.

Cela laisse penser que la distribution est gaussienne de paramètres $(m, σ 2)$ avec $m = 11$ et $σ = 5,7$ .

Papier gausso-arithmétique

Dans le principe décrit précédemment, il est nécessaire de rechercher les t_i correspondant à chaque P(x < x_i), ce qui demande une lecture à l'envers de la table de la loi normale. Il est possible aussi de travailler sur un papier dont l'échelle en ordonnée utilise déjà cette conversion. En ordonnée, apparaissent deux graduations :

à droite, une graduation arithmétique et
à gauche les valeurs de Φ(t) correspondantes.

On place alors les points grâce à l'échelle de gauche.

Cette représentation graphique fournit très naturellement la moyenne qui correspond, pour une loi normale, à la médiane c'est-à-dire à l'abscisse du point d'ordonnée 50. Mais elle fournit aussi assez facilement l'écart type en utilisant les intervalles de confiance. Dans une distribution normale, de moyenne m et d'écart-type σ l'intervalle [m - σ ; m + σ] regroupe 68 % de la population. Il y a donc 16 % des valeurs inférieures à m - σ et 84 % des valeurs inférieures à m + σ. On lit donc