Cet article est une ébauche concernant l’électromagnétisme.

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Ne doit pas être confondu avec précession de Larmor.

En électromagnétisme, la formule de Larmor a été établie par Joseph Larmor en 1897^[1], dans le contexte de la théorie ondulatoire de la lumière. Une particule chargée, accélérée émet des radiations sous forme d'ondes électromagnétiques. La puissance totale émise est donnée par l'expression suivante :

${\displaystyle P={\frac {2}{3}}{\frac {q^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}c}}\left({\frac {a}{c}}\right)^{2}={\frac {q^{2}a^{2}}{6\pi \varepsilon _{0}c^{3}}}{\mbox{ (unités SI)}}}$

${\displaystyle P={2 \over 3}{\frac {q^{2}a^{2}}{c^{3}}}{\mbox{ (unités CGS)}}}$

où ${\displaystyle a}$ est l'accélération, ${\displaystyle q}$ la charge de la particule, ${\displaystyle c}$ la célérité de la lumière dans le vide, et ${\displaystyle \epsilon _{0}\simeq }$ 8,854 × 10⁻¹² F m⁻¹ est la permittivité du vide.

Cette formule n'est valable que pour des vitesses faibles devant celle de la lumière : la version relativiste de cette formule est celle de Liénard-Wiechert.

Deux méthodes permettent de retrouver cette formule : l'une consiste à moyenner temporellement la puissance échangée avec la force d'Abraham-Lorentz, et l'autre à utiliser le théorème de Poynting.

Soit un corps chargé oscillant, de charge totale Q. La puissance échangée par ce système avec la force d'Abraham-Lorentz est donnée par :

$${\displaystyle P=\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} }$$

avec :

$${\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {2}{3}}\,{\frac {Q^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}c^{3}}}\,{\frac {d\mathbf {a} }{dt}}}$$

La moyenne temporelle de P sur chaque période d'oscillation est donnée par :

$${\displaystyle \langle P\rangle ={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}\left(\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} \right)\,dt}$$

$${\displaystyle \Rightarrow \langle P\rangle ={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}\left({\frac {2}{3}}{\frac {Q^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}c^{3}}}{\frac {d\mathbf {a} }{dt}}\cdot \mathbf {v} \right)dt}$$

$${\displaystyle \Rightarrow \langle P\rangle ={\frac {2}{3}}{\frac {Q^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}c^{3}}}{\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}\left({\frac {d\mathbf {a} }{dt}}\cdot \mathbf {v} \right)dt}$$

Or, pour un mouvement périodique de période T, on a :

$${\displaystyle \int _{0}^{T}\left({\frac {d\mathbf {a} }{dt}}\cdot \mathbf {v} \right)dt=-\int _{0}^{T}\left(a^{2}\right)dt}$$

On obtient donc finalement :

On a ici un signe (-) car il s'agit d'une puissance perdue par le système.

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L'idée consiste ici à intégrer le vecteur de Poynting sur une sphère fictive entourant la charge oscillante, de manière à déterminer le flux total quittant la charge.

• Force d'Abraham-Lorentz
• Théorème de Poynting

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