Il se montre très précoce en parlant couramment le latin à neuf ans. À onze ans, il suit les cours de l'École polytechnique en auditeur libre. Entre onze et dix-sept ans, il obtient deux baccalauréats (ès lettres et ès sciences), une licence et le doctorat ès sciences avec une thèse sur la théorie mathématique de l'électricité, puis est admis premier au concours d'entrée 1839 de l'École polytechnique. Il est ensuite reçu au concours d'agrégation de mathématiques des facultés et premier au premier concours d'agrégation de mathématiques des lycées avec Charles Briot, ainsi qu'à l'École des mines.
Il entre à l'Académie des sciences (section de géométrie) en 1856, où il succède à Charles Sturm. Il en devient secrétaire perpétuel en 1874 (section mathématiques), à la mort d'Élie de Beaumont. En 1884, il est élu à l'Académie française.
Il s'est intéressé à l'histoire des sciences : on lui doit en 1865 un mémoire sur Arago et la vie scientifique et la même année une publication sur Les fondateurs de l’astronomie moderne, des recherches sur L’Académie des Sciences et les académiciens de 1666 à 1793 (1868), et La théorie de la lune d’Aboul Wefa (1872) ; il illustre l'histoire des mathématiques par un ouvrage sur D’Alembert (1889)[2] et un autre sur Blaise Pascal (1890)[3]. En 1897, il donne à la Sorbonne une conférence sur François Viète[4],[5].
En 1845, en analysant une table de nombres premiers jusqu'à 6 000 000, il fait la conjecture qu'il y a toujours au moins un nombre premier entre n et 2n pour tout n entier positif supérieur ou égal à 2. Pafnouti Tchebychev a démontré cette conjecture, le postulat de Bertrand, en 1850.
↑Gaston Darboux, Éloges académiques et discours, Librairie scientifique A. Hermann et Fils, (lire en ligne), « Éloge historique de Joseph Bertrand » lire en ligne sur Gallica.
