Métrique (physique)
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En relativité restreinte et en relativité générale , une métrique est un invariant relativiste infinitésimal ayant la dimension d'une longueur . Mathématiquement, il s'agit d'un tenseur métrique relatif à la variété différentielle représentant l'espace-temps physique. En relativité générale, une métrique dans un référentiel contient toutes les informations sur la gravitation telle qu'elle y est perçue.
Une métrique d'espace-temps[ 1] [ 2]
n
{\displaystyle n}
carrés de formes différentielles linéaires[ 3] n est égal à celui des composantes covariantes non nulles
(
g
μ μ -->
ν ν -->
≠ ≠ -->
0
)
{\displaystyle \left(g_{\mu \nu }\neq 0\right)}
g
{\displaystyle g}
[ 4]
En relativité générale, une métrique est une solution de l'équation d'Einstein [ 5]
En relativité générale, la métrique est reliée au tenseur métrique par[ 6]
d
s
2
=
η η -->
α α -->
β β -->
∂ ∂ -->
ξ ξ -->
α α -->
∂ ∂ -->
x
μ μ -->
d
x
μ μ -->
∂ ∂ -->
ξ ξ -->
β β -->
∂ ∂ -->
x
ν ν -->
d
x
ν ν -->
=
g
μ μ -->
ν ν -->
d
x
μ μ -->
d
x
ν ν -->
{\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=\eta _{\alpha \beta }{\frac {\partial \xi ^{\alpha }}{\partial x^{\mu }}}\mathrm {d} x^{\mu }{\frac {\partial \xi ^{\beta }}{\partial x^{\nu }}}\mathrm {d} x^{\nu }=g_{\mu \nu }\mathrm {d} x^{\mu }\mathrm {d} x^{\nu }}
avec[ 6]
g
μ μ -->
ν ν -->
=
∂ ∂ -->
ξ ξ -->
α α -->
∂ ∂ -->
x
μ μ -->
∂ ∂ -->
ξ ξ -->
β β -->
∂ ∂ -->
x
ν ν -->
η η -->
α α -->
β β -->
{\displaystyle g_{\mu \nu }={\frac {\partial \xi ^{\alpha }}{\partial x^{\mu }}}{\frac {\partial \xi ^{\beta }}{\partial x^{\nu }}}\eta _{\alpha \beta }}
↑ Lachièze-Rey 2013 , chap. 2sect. 2.1 , § 2.1.6p. 36. ↑ Trilles et Spagnou 2020 , gloss., s.v. p. 405. ↑ Lichnerowicz 1950 , p. 102. ↑ Gialis et Désert 2015 , chap. 4§ 4.2p. 112. ↑ Carroll 2019 , chap. 4sec. 4.4, p. 165. ↑ a et b Ferrari, Gualtieri et Pani 2020 , chap. 1er sect. 1.4 , p. 11.
Voir aussi
Bibliographie
[Carroll 2019] (en) Sean M. Carroll , Spacetime and geometry : an introduction to general relativity , Cambridge, CUP , coll. « Higher education », août 2019 , 2e éd. (1re éd. juin 2003 ), XIV p. , 18,9 × 24,6 cm (ISBN 978-1-108-48839-6 EAN 9781108488396 OCLC 1101387240 BNF 45756876 DOI 10.1017/9781108770385 Bibcode 2019sgai.book.....C S2CID 126323605 SUDOC 237699117 présentation en ligne , lire en ligne ) [Ferrari, Gualtieri et Pani 2020] Valeria Ferrari , Leonardo Gualtieri et Paolo Pani , General relativity and its applications : black holes, compact stars and gravitational waves [« La relativité générale et ses applications : trous noirs, étoiles compactes et ondes gravitationnelles »], Boca Raton, CRC , hors coll. , décembre 2020 , 1re éd. , XVIII p. , 17,8 × 25,4 cm (ISBN 978-1-138-58977-3 978-0-367-62532-0 EAN 9781138589773 OCLC 1247682853 DOI 10.1201/9780429491405 SUDOC 255050844 présentation en ligne , lire en ligne ) [Gialis et Désert 2015] Denis Gialis et François-Xavier Désert , Relativité générale et astrophysique : problèmes et exercices corrigés , Les Ulis, EDP Sciences , coll. « Grenoble Sciences », novembre 2015 , 1re éd. , X p. , 17 × 24 cm (ISBN 978-2-7598-1749-8 EAN 9782759817498 OCLC 920911577 BNF 44394347 SUDOC 188192891 présentation en ligne , lire en ligne ) [Lachièze-Rey 2013] Marc Lachièze-Rey (collab. Julien Ribassin), Initiation à la cosmologie , Paris, Dunod , coll. « Sciences sup », mai 2013 (réimpr. mai 2020), 5e éd. (1re éd. 1992), VII p. , 17 × 24 cm (ISBN 978-2-10-059239-5 978-2-10-081438-1 EAN 9782100592395 OCLC 858206589 BNF 43619769 SUDOC 169390608 présentation en ligne , lire en ligne ) — ouvrage cité selon sa réimpression de mai 2020 .[Lichnerowicz 1950] André Lichnerowicz , Éléments de calcul tensoriel , Paris, A. Colin , coll. « A. Colin / section de mathématiques » (no 259), février 1950 , 1re éd. , 216 p. , in-16 (OCLC 369863713 BNF 32384088 SUDOC 012338737 lire en ligne ) [Spagnou 2020] Pierre Spagnou , Le trésor des ondes gravitationnelles , Paris, CNRS , coll. « Le Banquet scientifique », janvier 2020 , 1re éd. , 214 p. , 15 × 23 cm (ISBN 978-2-271-12422-7 EAN 9782271124227 présentation en ligne , lire en ligne ) , glossaire, s.v. [Stachel 2007] (en) John Stachel , « The first two acts » , dans Michel Janssen, John D. Norton, Jürgen Renn , Tilman Sauer et John Stachel (éd.) (préf. Jürgen Renn), The genesis of general relativity [« La genèse de la relativité générale »], t. Ier : Einstein's Zürich notebook : sources and interpretations , Dordrecht, Springer , coll. « Boston studies in the philosophy and history of science » (no 250 / 1), février 2007 , 1re éd. , 487 p. , 15,5 × 24,1 cm (ISBN 978-1-4020-3999-7 EAN 9781402039997 OCLC 496603744 BNF 40991060 DOI 10.1007/978-1-4020-4000-9 SUDOC 113830653 présentation en ligne , lire en ligne ) , p. 81-111[Taillet, Villain et Febvre 2018] Richard Taillet, Loïc Villain et Pascal Febvre, Dictionnaire de physique : + de 6500 termes, nombreuses références historiques, des milliers de références bibliographiques , Louvain-la-Neuve, De Boeck Supérieur , hors coll. , janvier 2018 , 4e éd. (1re éd. 2008), X p. , ill. et fig. , 17 × 24 cm (ISBN 978-2-8073-0744-5 EAN 9782807307445 OCLC 1022951339 SUDOC 224228161 présentation en ligne , lire en ligne ) , s.v. p. 722, col. 2[Trilles et Spagnou 2020] Sébastien Trilles et Pierre Spagnou , Le temps dans la géolocalisation par satellites , Les Ulis et Paris, EDP Sciences et CNRS , coll. « Savoirs actuels / physique », octobre 2020 , 1re éd. , XIV p. , 16 × 24 cm (ISBN 978-2-7598-2434-2 978-2-271-13542-1 EAN 9782759824342 OCLC 1202412260 BNF 46587400 SUDOC 249923122 présentation en ligne , lire en ligne )
Articles connexes
