Madhava de Sangamagrama (1350-1425) est un mathématicien indien , père de l'analyse mathématique . Il fonda l'école mathématique et astronomique du Kerala .
Calcul de pi
Vers 1400, Madhava de Sangamagrama a trouvé les séries qui portent son nom (en) et qui correspondent, en langage moderne, aux développements en série entière ou en série de Taylor des fonctions trigonométriques sinus , cosinus et arctangente .
Le développement de arctangente , redécouvert par James Gregory et Gottfried Wilhelm Leibniz au XVII e siècle, est la série dite de Madhava-Gregory-Leibniz (un ou deux de ces trois noms étant souvent omis) :
arctan
-->
(
x
)
=
x
− − -->
x
3
3
+
x
5
5
− − -->
x
7
7
+
⋯ ⋯ -->
=
∑ ∑ -->
k
=
0
∞ ∞ -->
(
− − -->
1
)
k
x
2
k
+
1
2
k
+
1
(
x
∈ ∈ -->
[
− − -->
1
,
1
]
)
.
{\displaystyle \arctan(x)=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}x^{2k+1}}{2k+1}}\quad (x\in \left[-1,1\right]).}
Son application à x = 1 , elle aussi connue sous le nom de série (ou formule) de Madhava-Leibniz [ 1] , [ 2] , [ 3] , donne une expression du nombre π :
π π -->
=
4
(
1
− − -->
1
3
+
1
5
− − -->
1
7
+
⋯ ⋯ -->
)
=
4
∑ ∑ -->
k
=
0
∞ ∞ -->
(
− − -->
1
)
k
2
k
+
1
{\displaystyle \pi =4\left(1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots \right)=4\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{2k+1}}}
mais la convergence de cette série alternée est trop lente pour pouvoir calculer, en pratique, plusieurs décimales : environ 1 000 termes sont nécessaires pour arriver à l'intervalle de 2.10–3 qu'avait atteint Archimède .
En l'appliquant plutôt à x = 1/√3 , la série converge bien plus vite :
π π -->
=
6
⋅ ⋅ -->
1
3
(
1
− − -->
1
3
⋅ ⋅ -->
3
+
1
5
⋅ ⋅ -->
3
2
− − -->
1
7
⋅ ⋅ -->
3
3
+
⋯ ⋯ -->
)
=
12
∑ ∑ -->
k
=
0
∞ ∞ -->
(
− − -->
1
)
k
(
2
k
+
1
)
3
k
,
{\displaystyle \pi =6\cdot {\frac {1}{\sqrt {3}}}\left(1-{1 \over 3\cdot 3}+{1 \over 5\cdot 3^{2}}-{1 \over 7\cdot 3^{3}}+\cdots \right)={\sqrt {12}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{(2k+1)3^{k}}},}
ce qui a permis à Madhava de donner comme approximation de π le nombre 3,14159265359, qui a 11 décimales correctes. Le record a été battu en 1424 par le mathématicien perse Al-Kashi , qui a réussi à donner 16 décimales.
Notes et références
↑
(en) George E. Andrews , Richard Askey et Ranjan Roy, Special Functions , CUP , 1999 , 682 p. (ISBN 978-0-521-78988-2 , lire en ligne ) , p. 58 .
↑ (en) R. C. Gupta, « On the remainder term in the Madhava-Leibniz’s series », Ganita Bharati , vol. 14, nos 1-4, 1992 , p. 68-71 .
↑ Roy, Ranjan, The discovery of the series formula for π by Leibniz, Gregory and Nilakantha , Math. Mag., 1990, 63, 291-306.
Lien externe
(en) John J. O'Connor et Edmund F. Robertson , « Madhava of Sangamagramma », sur MacTutor , université de St Andrews .