Points cocycliques

Propriété — Soient ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle C}$ et ${\displaystyle D}$ quatre points distincts du plan. Alors ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle C}$, ${\displaystyle D}$ sont cocycliques ou alignés si et seulement si on a l'égalité d'angles orientés

${\displaystyle \left({\overrightarrow {CA}},{\overrightarrow {CB}}\right)=\left({\overrightarrow {DA}},{\overrightarrow {DB}}\right)\mod \pi .}$

Théorème — Soient ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle C}$ et ${\displaystyle D}$ quatre points distincts du plan. Ces points sont cocycliques si et seulement si l'une des quatre égalités suivantes est vérifiée :

${\displaystyle AB\cdot CD\pm AC\cdot DB\pm AD\cdot BC=0}$.