En mathématiques, plus précisément dans le domaine de la combinatoire, un q-analogue d'un théorème, d'une identité ou d'une expression est une généralisation impliquant un nouveau paramètre q et qui se spécialise en le théorème originel lorsque l'on prend la limite quand q tend vers 1. Typiquement, les mathématiciens sont intéressés par les cas où un q-analogue intervient naturellement, plutôt que par les cas où on ajoute arbitrairement un paramètre q à un théorème déjà connu. Les premiers q-analogues étudiés en détail furent les séries hypergéométriques basiques, qui furent introduites au XIXe siècle[1].
Les q-analogues trouvent des applications dans plusieurs domaines, incluant l'étude des fractales, la théorie des nombres, et des expressions de l'entropie de systèmes dynamiques chaotiques. Les q-analogues apparaissent aussi dans l'étude des groupes quantiques et des superalgèbresq-déformées[réf. souhaitée].
Il y a deux groupes principaux de q-analogues : les q-analogues classiques, qui furent introduits dans le travail de Leonhard Euler et furent ensuite étendus par Frank Hilton Jackson[2], et les q-analogues non classiques[3].
q-théorie classique
q-dérivée
La dérivée d'une fonction de variable réelle en est la limite du taux d'accroissement quand tend vers , et on appelle traditionnellement la différence de sorte que . Mais, pour non nul, on peut aussi noter le quotient de sorte que . C'est ce dernier quotient qui est appelé la q-dérivée de en , laquelle tend bien vers quand tend vers 1, si est dérivable en [4]. On note alors que la q-dérivée de la fonction vaut , qui tend bien vers la dérivée lorsque tend vers 1. Ceci justifie les définitions suivantes.
q-entier
On définit le q-analogue de l'entier positif [3] par :
q-factorielle
On définit alors naturellement le q-analogue de la factorielle de l'entier par :
Ce q-analogue de la factorielle possède l'interprétation combinatoire suivante : alors que est le nombre de permutations d'ordre , compte ces mêmes permutations en gardant trace du nombre d'inversions. C'est-à-dire que si l'on note le nombre d'inversions de la permutation et l'ensemble des permutations d'ordre n, on a : .
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Notes et références
(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « q-analog » (voir la liste des auteurs).
↑(en) Harold Exton, q-Hypergeometric Functions and Applications, E. Horwood, 1983 (ISBN978-0-85312491-7).
↑(en) F. H. Jackson, « On q-functions and a certain difference operator », Trans. Roy. Soc. Edin., vol. 46, 1908, p. 253-281.
↑ a et b(en) Thomas Ernst, « A method for q-calculus », JNMP, vol. 10, no 4, , p. 487-525 (lire en ligne).
↑(en) Victor Kac et Pokman Cheung, Quantum Calculus, Springer, (lire en ligne), chapitre 1
↑(en) George Pólya et Gábor Szegő, Problems and Theorems in Analysis, vol. I, Springer, (1re éd. 1972) (lire en ligne), p. 11. En note en bas de cette page 11 il est écrit : « Cf. C. F. Gauss: Summatio quarundam serierum singularium, Opera, Vol. 2, especially p. 16–17. »