Équation d'Hugoniot

Cet article est une ébauche concernant la mécanique des fluides.

Vous pouvez partager vos connaissances en l’améliorant (comment ?) selon les recommandations des projets correspondants.

L'équation d'Hugoniot, utilisée en mécanique des fluides, décrit le comportement d'un écoulement isentropique stationnaire dans un volume fermé de section lentement variable. Cette dénomination en l'honneur de Pierre-Henri Hugoniot n'est pas universellement utilisée^[1],[2].

Dans une conduite ou une tuyère la variation lente de l'aire de la section droite permet d'assimiler l'écoulement à un écoulement en une dimension moyennant l'hypothèse :

${\displaystyle V_{y},V_{z}<<V_{x}}$

Soit ${\displaystyle A(x)}$ l'aire et ${\displaystyle f(x,y,z)}$ la quantité caractéristique à laquelle on s'intéresse. On écrit cette quantité sous forme d'une partie principale moyenne et d'un écart local à cette valeur :

${\displaystyle f={\bar {f}}(x)+{\tilde {f}}(x,y,z)}$

${\displaystyle {\tilde {f}}}$ étant supposé en ${\displaystyle {\mathcal {O}}(\epsilon )}$ on peut écrire :

${\displaystyle {\overline {f\,g}}\simeq {\bar {f}}\,{\bar {g}}}$

et

${\displaystyle {\overline {\frac {\partial f}{\partial x}}}\simeq {\frac {\partial {\bar {f}}}{\partial x}}}$

Ces relations vont nous permettre de moyenner les termes de l'équation d'Euler, non linéaire.

Dans le domaine ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ contenant le fluide, limité par la surface ${\displaystyle \partial {\mathcal {D}}}$, de normale sortante ${\displaystyle \mathbf {n} }$ on peut écrire les bilans de conservation pour les équations d'Euler sous la forme suivante^[3] :

• on suppose nulle la masse entrante sur les parois :

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{x_{1}}^{x_{2}}\int _{A}\rho \,da\,dx=-\int _{\partial {\mathcal {D}}}\rho \mathbf {V} \cdot \mathbf {n} \,da\simeq -\left[\int _{A(x)}\rho V_{x}\,da\right]_{x_{1}}^{x_{2}}}$

À l'ordre 0 en ${\displaystyle \epsilon }$ et en utilisant l'expression donnant la moyenne d'un produit :

${\displaystyle \int _{x_{1}}^{x_{2}}A{\frac {\partial {\bar {\rho }}}{\partial t}}dx=-\left[A\,{\bar {\rho }}\,{\bar {V}}\right]_{x_{1}}^{x_{2}}}$

Soit en dérivant :

${\displaystyle A\,{\frac {\partial {\bar {\rho }}}{\partial t}}+{\frac {\partial }{\partial x}}(A\,{\bar {\rho }}\,{\bar {V}})=0}$

• en effectuant les mêmes opérations sur la quantité de mouvement et en utilisant l'équation de continuité on obtient :

${\displaystyle {\bar {\rho }}\left({\frac {\partial {\bar {V}}}{\partial t}}+{\bar {V}}{\frac {\partial {\bar {V}}}{\partial x}}\right)=-{\frac {\partial {\bar {p}}}{\partial x}}}$

• de même pour l'équation de l'énergie en utilisant les équations de continuité et de quantité de mouvement :

${\displaystyle {\bar {\rho }}\left({\frac {\partial {\bar {e}}}{\partial t}}+{\bar {V}}{\frac {\partial {\bar {e}}}{\partial x}}\right)=-{\frac {\bar {p}}{A}}{\frac {\partial }{\partial x}}(A{\bar {V}})}$

Elles découlent trivialement des précédentes :

• bilan de masse :

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(A\,{\bar {\rho }}\,{\bar {V}})=0}$

• bilan de quantité de mouvement :

${\displaystyle {\bar {\rho }}\,{\bar {V}}{\frac {\mathrm {d} {\bar {V}}}{\mathrm {d} x}}=-{\frac {\mathrm {d} {\bar {p}}}{\mathrm {d} x}}}$

• bilan d'énergie :

${\displaystyle {\bar {\rho }}{\bar {V}}{\frac {\mathrm {d} {\bar {e}}}{\mathrm {d} x}}=-{\frac {\bar {p}}{A}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(A{\bar {V}})}$

La vitesse du son ${\displaystyle {\bar {c}}}$ à l'ordre 0 en ${\displaystyle \epsilon }$ dans le milieu est donnée par:

${\displaystyle {\bar {c\,}}^{2}=\left.{\frac {\partial {\bar {p}}}{\partial {\bar {\rho }}}}\right|_{S}}$

${\displaystyle S}$ (et non ${\displaystyle {\bar {S}}}$) est l'entropie. L'utilisation de cette relation suppose donc une restriction de ce qui suit à un écoulement isentropique, sans onde de choc. Dans notre cas :

${\displaystyle \mathrm {d} {\bar {p}}={\bar {c\,}}^{2}\mathrm {d} {\bar {\rho }}}$

L'équation stationnaire de quantité de mouvement s'écrit alors :

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\bar {\rho }}}{\bar {\rho }}}=-{\bar {M}}^{2}\,{\frac {\mathrm {d} {\bar {V}}}{\bar {V}}}}$

où ${\displaystyle {\bar {M}}={\frac {\bar {V}}{\bar {c}}}}$ est le nombre de Mach à l'ordre 0.

L'équation de continuité stationnaire peut s'écrire sous la forme :

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} A}{A}}+{\frac {\mathrm {d} {\bar {\rho }}}{\bar {\rho }}}+{\frac {\mathrm {d} {\bar {V}}}{\bar {V}}}=0}$

En l'introduisant dans l'équation précédente on obtient l'équation d'Hugoniot :

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} A}{A}}=({\bar {M}}^{2}-1){\frac {\mathrm {d} {\bar {V}}}{\bar {V}}}}$

Cette équation montre que :

• en subsonique une diminution de l'aire entraîne une augmentation de la vitesse,
• en supersonique c'est le contraire.

Cette observation est à la base de la tuyère de Laval.

• Ecoulement monodimensionnels des fluides compressibles

• Équations de Navier-Stokes
• Relations de Rankine-Hugoniot

• Portail de la physique