Un cubo perfetto è un qualsiasi numero naturale la cui radice cubica corrisponde ad un numero intero .
y=x³, per valori interi 1≤x≤25. In aritmetica e algebra , il cubo di un numero n è la sua terza potenza , cioè il risultato della moltiplicazione del numero per sé stesso tre volte:
n 3 = n × n × n .Si tratta anche della formula per calcolare il volume di un cubo il cui lato ha una lunghezza pari a n . Da qui il nome.
La funzione inversa di trovare il numero il cui cubo è n è detta "estrazione della radice cubica di n ". Restituisce il lato di un cubo dato il volume.
Primi 21 cubi perfetti
0 = 0 elevato al cubo.1 = 1 elevato al cubo.8 = 2 elevato al cubo.27 = 3 elevato al cubo.64 = 4 elevato al cubo.125 = 5 elevato al cubo.216 = 6 elevato al cubo.343 = 7 elevato al cubo.512 = 8 elevato al cubo.729 = 9 elevato al cubo.1000 = 10 elevato al cubo.1331 = 11 elevato al cubo.1728 = 12 elevato al cubo.2197 = 13 elevato al cubo.2744 = 14 elevato al cubo.3375 = 15 elevato al cubo.4096 = 16 elevato al cubo.4913 = 17 elevato al cubo.5832 = 18 elevato al cubo.6859 = 19 elevato al cubo.8000 = 20 elevato al cubo.La differenza fra i cubi di due interi consecutivi può essere espressa come:
n
3
− − -->
(
n
− − -->
1
)
3
=
3
(
n
− − -->
1
)
n
+
1
{\displaystyle n^{3}-(n-1)^{3}=3(n-1)n+1}
oppure
(
n
+
1
)
3
− − -->
n
3
=
3
(
n
+
1
)
n
+
1.
{\displaystyle (n+1)^{3}-n^{3}=3(n+1)n+1.}
Applicazioni
Il cubo di un numero appare nella formula per il calcolo del volume di una sfera, ottaedro, dodecaedro, icosaedro regolari, nella somma dei quadrati dei primi n numeri naturali , nella terza legge di Keplero .
Se al prodotto di tre termini consecutivi di una progressione aritmetica con primo termine a e ragione d (a , e d interi positivi), si somma kd^2 , si ottiene un numero cubo perfetto K.progressione geometrica è un cubo perfetto.
Problema di Waring per i cubi
Ogni cubo perfetto può essere scritto come la somma di nove o meno cubi positivi. Ad esempio 23 non può essere scritto come la somma di un numero non inferiore a nove di cubi positivi:
23 = 23 + 23 + 13 + 13 + 13 + 13 + 13 + 13 + 13 .
Ultimo teorema di Fermat per i cubi
L'equazione
x
3
+
y
3
=
z
3
{\displaystyle x^{3}+y^{3}=z^{3}}
x
y
z
=
0
{\displaystyle xyz=0}
interi di Eisenstein tra le soluzioni.[ 1]
Entrambe queste affermazioni sono vere anche per l'equazione[ 2]
x
3
+
y
3
=
3
z
3
{\displaystyle x^{3}+y^{3}=3z^{3}}
Ciò non è vero se consideriamo la somma di cubi, con più di due addendi:
3
3
+
4
3
+
5
3
=
6
3
.
{\displaystyle 3^{3}+4^{3}+5^{3}=6^{3}.}
Somma dei primi n cubi
I cubi dei numeri naturali sono la sommatoria di blocchi di numeri naturali dispari in ordine crescente, esempio:
1
⏟ ⏟ -->
1
3
5
⏟ ⏟ -->
8
7
9
11
⏟ ⏟ -->
27
13
15
17
19
⏟ ⏟ -->
64
21
23
25
27
29
⏟ ⏟ -->
125
… … -->
{\displaystyle \underbrace {1} _{1}\ \underbrace {3\ 5} _{8}\ \underbrace {7\ 9\ 11} _{27}\ \underbrace {13\ 15\ 17\ 19} _{64}\ \underbrace {21\ 23\ 25\ 27\ 29} _{125}\ \ldots }
1
=
1
8
=
1
+
7
27
=
1
+
7
+
19
64
=
1
+
7
+
19
+
37
125
=
1
+
7
+
19
+
37
+
61
⋮ ⋮ -->
{\displaystyle {\begin{aligned}1&=1\\8&=1+7\\27&=1+7+19\\64&=1+7+19+37\\125&=1+7+19+37+61\\&\;\;\vdots \end{aligned}}}
la somma dei primi
n
{\displaystyle n}
n
{\displaystyle n}
numero triangolare quadrato
1
3
+
2
3
+
⋯ ⋯ -->
+
n
3
=
(
1
+
2
+
⋯ ⋯ -->
+
n
)
2
=
(
n
(
n
+
1
)
2
)
2
.
{\displaystyle 1^{3}+2^{3}+\dots +n^{3}=(1+2+\dots +n)^{2}=\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)^{2}.}
Visual proof that 1³ + 2³ + 3³ + 4³ + 5³ = (1 + 2 + 3 + 4 + 5)² . Ad esempio la somma dei primi 5 cubi perfetti è il quadrato del quinto numero triangolare
1
3
+
2
3
+
3
3
+
4
3
+
5
3
=
15
2
,
{\displaystyle 1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}+5^{3}=15^{2},}
ma
x
{\displaystyle x}
y
{\displaystyle y}
equazione di Pell negativa
x
2
− − -->
2
y
2
=
− − -->
1
{\displaystyle x^{2}-2y^{2}=-1}
y = 5 e 29, allora,
1
3
+
3
3
+
⋯ ⋯ -->
+
9
3
=
(
7
⋅ ⋅ -->
5
)
2
,
{\displaystyle 1^{3}+3^{3}+\dots +9^{3}=(7\cdot 5)^{2},}
1
3
+
3
3
+
⋯ ⋯ -->
+
57
3
=
(
41
⋅ ⋅ -->
29
)
2
,
{\displaystyle 1^{3}+3^{3}+\dots +57^{3}=(41\cdot 29)^{2},}
e così via. Ogni numero perfetto , eccetto il minore, è la somma dei primi
2
(
(
p
− − -->
1
)
/
2
)
{\displaystyle 2^{(}(p-1)/2)}
28
=
2
2
(
2
3
− − -->
1
)
=
1
3
+
3
3
;
{\displaystyle 28=2^{2}(2^{3}-1)=1^{3}+3^{3};}
496
=
2
4
(
2
5
− − -->
1
)
=
1
3
+
3
3
+
5
3
+
7
3
;
{\displaystyle 496=2^{4}(2^{5}-1)=1^{3}+3^{3}+5^{3}+7^{3};}
8128
=
2
6
(
2
7
− − -->
1
)
=
1
3
+
3
3
+
5
3
+
7
3
+
9
3
+
11
3
+
13
3
+
15
3
.
{\displaystyle 8128=2^{6}(2^{7}-1)=1^{3}+3^{3}+5^{3}+7^{3}+9^{3}+11^{3}+13^{3}+15^{3}.}
Somma di cubi di numeri in progressione aritmetica
Esistono esempi di cubi di numeri in progressione aritmetica la cui somma è un cubo:
3
3
+
4
3
+
5
3
=
6
3
;
{\displaystyle 3^{3}+4^{3}+5^{3}=6^{3};}
11
3
+
12
3
+
13
3
+
14
3
=
20
3
;
{\displaystyle 11^{3}+12^{3}+13^{3}+14^{3}=20^{3};}
31
3
+
33
3
+
35
3
+
37
3
+
39
3
+
41
3
=
66
3
.
{\displaystyle 31^{3}+33^{3}+35^{3}+37^{3}+39^{3}+41^{3}=66^{3}.}
La formula F per trovare la somma di n cubi di numeri in progressione aritmetica, aventi comune differenza d a partire da un cubo iniziale
a
3
{\displaystyle a^{3}}
F
(
d
,
a
,
n
)
=
a
3
+
(
a
+
d
)
3
+
(
a
+
2
d
)
3
+
⋯ ⋯ -->
+
(
a
+
d
n
− − -->
d
)
3
{\displaystyle F(d,a,n)=a^{3}+(a+d)^{3}+(a+2d)^{3}+\cdots +(a+dn-d)^{3}}
è data da
F
(
d
,
a
,
n
)
=
(
n
/
4
)
(
2
a
− − -->
d
+
d
n
)
(
2
a
2
− − -->
2
a
d
+
2
a
d
n
− − -->
d
2
n
+
d
2
n
2
)
.
{\displaystyle F(d,a,n)=(n/4)(2a-d+dn)(2a^{2}-2ad+2adn-d^{2}n+d^{2}n^{2}).}
Una soluzione parametrica
F
(
d
,
a
,
n
)
=
y
3
{\displaystyle F(d,a,n)=y^{3}}
è nota per
d
=
1
{\displaystyle d=1}
d
>
1
{\displaystyle d>1}
2
,
3
,
5
,
7
,
11
,
13
,
37
,
39
,
… … -->
{\displaystyle 2,3,5,7,11,13,37,39,\ldots }
[ 3]
Somma dei reciproci
La somma dei reciproci di tutti i cubi, usata in una grande varietà di situazioni, è nota come costante di Apéry . Il suo valore è dato dalla funzione zeta di Riemann in corrispondenza del punto 3.
∑ ∑ -->
n
=
1
∞ ∞ -->
1
n
3
=
ζ ζ -->
(
3
)
=
1,202
0569
… … -->
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}}}=\zeta {(3)}=1{,}2020569\ldots }
Nei numeri razionali
Ogni numero razionale positivo è la somma di tre cubi razionali positivi[ 4] [ 5]
Funzione generatrice
La funzione generatrice
∑ ∑ -->
i
≥ ≥ -->
0
a
i
x
i
{\displaystyle \sum _{i\geq 0}a_{i}x^{i}}
serie formale di potenze
(
a
i
)
i
≥ ≥ -->
0
{\displaystyle (a_{i})_{i\geq 0}}
∑ ∑ -->
i
≥ ≥ -->
0
i
3
x
i
=
x
+
8
x
2
+
27
x
3
+
64
x
4
+
… … -->
=
x
(
x
2
+
4
x
+
1
)
(
x
− − -->
1
)
4
.
{\displaystyle \sum _{i\geq 0}i^{3}x^{i}=x+8x^{2}+27x^{3}+64x^{4}+\ldots ={\frac {x(x^{2}+4x+1)}{(x-1)^{4}}}.}
Storia
Il calcolo del cubo di numeri grandi è comune nella storia della matematica .[ 6] [ 7]
Note
^ Hardy & Wright, Thm. 227
^ Hardy & Wright, Thm. 232
^ A Collection of Algebraic Identities [collegamento interrotto , su sites.google.com . ^ Hardy & Wright, Thm. 234
^ Hardy & Wright, Thm. 233
^ http://bodrato.it/papers/zanoni/AnotherSugarCube.pdf ^ (EN A New Algorithm for Long Integer Cube Computation with Some Insight into Higher Powers Computer Algebra in Scientific Computing , Springer, 2012, pp. 34–46, DOI :10.1007/978-3-642-32973-9_4 . URL consultato il 14 marzo 2023 .
Bibliografia
Voci correlate
