In matematica, una progressione geometrica o successione geometrica (detta talvolta, impropriamente, anche serie geometrica, vedi sotto) è una successione di numeri tali che il rapporto tra un elemento ed il suo precedente sia sempre costante. Tale costante è detta ragione della successione.
In generale sarà
dove r ≠ 0 è la ragione e è il primo termine della successione.
Si confrontino questi risultati con quelli di una progressione aritmetica, la quale mostra una crescita (o una diminuzione) lineare (es. 4, 15, 26, 37, 48, ....). Si noti che i due tipi di progressione sono strettamente connessi: applicando il logaritmo ai termini di una progressione geometrica si ottiene una progressione aritmetica.
Applicazioni
Si osserva facilmente che una progressione geometrica soddisfa la seguente condizione
L'equazione precedente si ritrova in molti modelli di crescita esponenziale. Ad esempio, il numero di individui in una colonia di batteri che si duplicano ad intervalli di tempo costanti segue una progressione geometrica di ragione 2.
Serie geometrica
Il termine serie geometrica è riservato alla somma di infiniti termini di una progressione geometrica (con fattore di scala unitario)
mentre la scrittura sottostante è detta somma parziale dei primi n termini della serie o ridotta n-esima della serie:
La formula chiusa che esprime la somma della ridotta n-esima di una serie geometrica di ragione r può essere ottenuta nel seguente modo: si moltiplica l'espressione per il fattore (1-r) ottenendo
poiché tutti i termini del membro a destra dell'equazione, ad eccezione di 1 e , si annullano fra loro, posto , si può dividere per (1-r), ottenendo
Quindi, nel caso in cui , per si ha , pertanto per una serie geometrica (convergente) si può scrivere