Laureato in Filosofia a Torino nel 1946 come allievo di Augusto Guzzo e Nicola Abbagnano, visse a Viareggio. Professore ordinario di Filosofia teoretica all'Università di Pisa (1957), dove fu preside della facoltà di Lettere e filosofia dal 1967 al 1968, fu poi docente di Filosofia della scienza (1987) nonché direttore dell'Istituto di Filosofia nella stessa università (1960-80). Insegnò anche Filosofia morale alla Scuola Normale Superiore di Pisa dal 1958 al 1974.
Particolarmente interessato alla filosofia di Nicolai Hartmann, Barone ne trasse spunto per un confronto tra la dottrina realistica e quella neoidealista. La sua riflessione filosofica si sarebbe poi focalizzata sui problemi epistemologici e della filosofia della scienza.
Il suo pensiero si contraddistingue per lo stretto rapporto tra epistemologia e storiografia della scienza, settore, questo, in cui Barone ha preso in particolare considerazione il tema della nascita dell'astronomia moderna, da Niccolò Copernico a Keplero e Galilei.
Intorno agli anni sessanta, inoltre, Barone si è dedicato con particolare attenzione agli sviluppi culturali, epistemologici e filosofici della nascente informatica.
Opere
L'ontologia di Nicolai Hartmann, Edizioni di Filosofia, Torino, 1948
Rudolf Carnap, Edizioni di Filosofia, Torino, 1953
Wittgenstein inedito, Edizioni di Filosofia, Torino, 1953
Il neopositivismo logico, Edizioni di Filosofia, Torino, 1953, 2ª ed., Laterza, Roma-Bari, 1977; 3ª ed. ivi, 1986
Assiologia e ontologia: etica ed estetica nel pensiero di N. Hartmann, Torino 1954
Leibniz e la logica formale, Edizioni di Filosofia, Torino, 1955
Nicolai Hartmann nella filosofia del Novecento, Edizioni di Filosofia, Torino, 1957
Logica formale e logica trascendentale, vol. I, Da Leibniz a Kant, Edizioni di Filosofia, Torino, 1957 (nuova edizione Unicopli, Milano, 1999); vol. II, L'algebra della logica, Edizioni di Filosofia, Torino, 1965 (nuova edizione Unicopli, Milano, 2000)
Metafisica della mente e analisi del pensiero, Edizioni di Filosofia, Torino, 1958
1748: viaggio di Hume a Torino, Edizioni di Filosofia, Torino 1958
Mondo e linguaggi , Edizioni di Filosofia, Torino 1959
Determinismo e indeterminismo nella metodologia scientifica contemporanea, Edizioni di Filosofia, Torino, 1959
Concetti e teorie nella scienza empirica, Edizioni di Filosofia, Torino, 1962
Nicola Copernico, Opere (a cura di F. Barone), UTET, Torino, 1979
Immagini filosofiche della scienza, Laterza, Roma-Bari, 1983
Pensieri contro, Società Editrice Napoletana, Napoli 1983
Teoria ed osservazione nella metodologia scientifica, Guida, Napoli, 1990
Verso un nuovo rapporto tra scienza e filosofia, Centro Pannunzio, Torino, 1994
La fondazione dell'ontologia di Nicolai Hartmann (a cura di F. Barone), Fabbri, Milano, 1963
G. W. Leibniz , Scritti di logica (a cura di F. Barone), Zanichelli, Bologna, 1968, 2ª ed. Laterza, Roma-Bari, 1992