Compie gli studi nei seminari di Brescia e, oltre agli studi teologici, frequenta il conservatorio per i corsi di violino.
Il 7 giugno 1975 è ordinato presbitero dal vescovo Luigi Morstabilini; celebra la prima messa nella sua parrocchia cittadina di Sant'Anna, nella periferia di Brescia.
Mons. Beschi, il primo a sinistra, con il vescovo Giuseppe Merisi durante l'ordinazione episcopale di mons. Maurizio Malvestiti (al centro, in prospettiva; con il pastorale in mano), l'11 ottobre 2014.
In un'intervista critica alcune linee politiche della Lega Nord, con riferimento al tema dell'immigrazione, definendole inaccettabili per la coscienza cristiana e sottolineando che nella pratica quotidiana sono invece frequenti iniziative di solidarietà.
È presidente della commissione episcopale per l'evangelizzazione dei popoli e la cooperazione tra le Chiese della Conferenza Episcopale Italiana, dal 2015 al 2021.
Blasonatura dello stemma: Interzato in mantello: nel 1º e nel 3º d'azzurro al giglio d'oro, nel 2º d'argento alla croce a doppia traversa d'oro sormontata in capo da una stella a 5 raggi dello stesso.
Nello stemma sono presenti:
una stella dorata a cinque punte, tipico simbolo mariano;
su sfondo azzurro, colore indicante il cielo ed ogni aspirazione, vi sono due gigli, che ricordano il patrono della diocesi di Bergamo, Sant'Alessandro, dal cui sangue nacquero due gigli, simbolo della purezza della fede;
