Lemma di normalizzazione di Noether

In matematica, il lemma di normalizzazione di Noether è un teorema dell'algebra commutativa che afferma che ogni ${\displaystyle K}$-algebra finitamente generata (dove ${\displaystyle K}$ è un campo) è un'estensione intera di un anello di polinomi su ${\displaystyle K}$.

Prende nome da Emmy Noether, che nel 1926 lo dimostrò sotto l'ipotesi che ${\displaystyle K}$ fosse infinito. Il caso in cui ${\displaystyle K}$ è un campo finito fu dimostrato da Oscar Zariski nel 1943.

Sia ${\displaystyle K}$ un campo e ${\displaystyle A}$ un'algebra su ${\displaystyle K}$; sia ${\displaystyle d}$ la dimensione di ${\displaystyle A}$. Allora esistono ${\displaystyle d}$ elementi ${\displaystyle y_{1},\ldots ,y_{d}\in A}$, algebricamente indipendenti, tali che l'estensione ${\displaystyle K[y_{1},\ldots ,y_{d}]\subseteq A}$ è intera. Se inoltre ${\displaystyle A}$ è un dominio d'integrità, allora ${\displaystyle d}$ è anche il grado di trascendenza del campo dei quozienti di ${\displaystyle A}$ su ${\displaystyle K}$.

Se ${\displaystyle A}$ è un anello graduato, allora gli elementi ${\displaystyle y_{1},\ldots ,y_{d}}$ possono essere scelti omogenei.

L'idea della dimostrazione è di rappresentare ${\displaystyle A}$ come quoziente di un anello di polinomi ${\displaystyle K[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$ per un suo ideale ${\displaystyle I}$, e di procedere per induzione su ${\displaystyle n}$. Il passo induttivo è provato scegliendo un polinomio ${\displaystyle P(X_{1},\ldots ,X_{n})\in I}$, e cercando poi un cambiamento di variabili ${\displaystyle Y_{i}=f_{i}(X_{i})}$ che renda ${\displaystyle P}$ un polinomio monico in ${\displaystyle X_{n}}$, in modo che l'immagine ${\displaystyle x_{n}}$ di ${\displaystyle X_{n}}$ in ${\displaystyle A}$ sia intera sulle immagini degli ${\displaystyle Y_{i}}$.

Se ${\displaystyle K}$ è infinito, è sempre possibile trovare un ${\displaystyle \lambda \in K}$ tale che la trasformazione ${\displaystyle Y_{i}=X_{i}-\lambda X_{n}}$ (per ${\displaystyle 1\leq i\leq n-1}$) abbia le proprietà cercate; se ${\displaystyle K}$ è finito, invece, è necessario considerare la trasformazione ${\displaystyle Y_{i}=X_{i}+X_{i}^{m_{i}}}$, per degli interi ${\displaystyle m_{i}}$ scelti opportunamente.

L'utilità del lemma di Noether spesso si manifesta nella possibilità di "spezzare" lo studio delle proprietà di una ${\displaystyle K}$-algebra ${\displaystyle A}$ in un'estensione puramente trascendente ${\displaystyle K\subseteq K[y_{1},\ldots ,y_{d}]}$ e un'estensione intera ${\displaystyle K[y_{1},\ldots ,y_{d}]\subseteq A}$, entrambe le quali possono essere studiate più facilmente di un'estensione arbitraria. Ad esempio, attraverso questo metodo è possibile dimostrare che se ${\displaystyle \phi :A\longrightarrow B}$ è un omomorfismo di ${\displaystyle K}$-algebre finitamente generate e locali, allora ${\displaystyle \phi }$ è un omomorfismo locale, ovvero ${\displaystyle \phi (M)B\neq B}$, dove ${\displaystyle M}$ è l'ideale massimale di ${\displaystyle A}$.

Un'altra importante conseguenza del lemma di Noether è che ogni catena di ideali primi di ${\displaystyle A}$ può essere raffinata ad una catena massimale di lunghezza ${\displaystyle d}$ (dove ${\displaystyle d}$ è sempre la dimensione di ${\displaystyle A}$); in particolare, su ${\displaystyle P}$ è un ideale primo, allora ${\displaystyle \dim A=\dim A_{P}+\dim A/P}$. Ad esempio, se ${\displaystyle f}$ è un elemento di ${\displaystyle A}$ e non è un divisore dello zero, l'anello ${\displaystyle A/(f)}$ ha dimensione ${\displaystyle \dim A-1}$.

Il lemma di Noether può anche essere utilizzato per dimostrare il teorema degli zeri di Hilbert.

Geometricamente, il lemma di Noether può essere interpretato in termini di mappe tra varietà affini: in questo contesto afferma che, se ${\displaystyle X}$ è una varietà affine di dimensione ${\displaystyle d}$, allora esiste una mappa finita ${\displaystyle \psi :X\longrightarrow \mathbb {A} ^{d}}$ (dove ${\displaystyle \mathbb {A} ^{d}}$ è lo spazio affine ${\displaystyle d}$-dimensionale).

• (EN) Michael Atiyah e Ian G. Macdonald, Introduction to Commutative Algebra, Westview Press, 1969, ISBN 0-201-40751-5.
• (EN) David Eisenbud, Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry, Springer-Verlag, 1995, ISBN 0-387-94269-6.

• (EN) Lemma di normalizzazione di Noether, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.

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