Ideale (matematica)

In matematica, e più precisamente in algebra, un ideale è un sottoinsieme di un anello chiuso rispetto alla somma interna e al prodotto con qualsiasi elemento dell'anello.

Sia ${\displaystyle A}$ un anello con le operazioni ${\displaystyle +}$ e ${\displaystyle *}$. Un sottoinsieme ${\displaystyle I}$ di ${\displaystyle A}$ è un ideale destro se:

• ${\displaystyle (I,+)}$ è un sottogruppo di ${\displaystyle (A,+)}$;
• per ogni ${\displaystyle i}$ in ${\displaystyle I}$ ed ogni ${\displaystyle a}$ in ${\displaystyle A}$ l'elemento ${\displaystyle i*a}$ è sempre in ${\displaystyle I}$;

e ideale sinistro se:

• ${\displaystyle (I,+)}$ è un sottogruppo di ${\displaystyle (A,+)}$;
• per ogni ${\displaystyle i}$ in ${\displaystyle I}$ ed ogni ${\displaystyle a}$ in ${\displaystyle A}$ l'elemento ${\displaystyle a*i}$ è sempre in ${\displaystyle I}$.

Un ideale che sia contemporaneamente destro e sinistro si dice ideale bilatero. Nel caso particolare in cui ${\displaystyle A}$ sia un anello commutativo le nozioni date coincidono e parliamo semplicemente di ideale.

Per semplicità diamo le definizioni seguenti solo in un anello commutativo.

Un ideale ${\displaystyle I}$ è un ideale proprio se è un sottoinsieme proprio di ${\displaystyle A}$, cioè non coincide con ${\displaystyle A}$. Un ideale proprio è un ideale massimale se non è contenuto strettamente in nessun altro ideale proprio. Un ideale proprio è un ideale primo se per ogni elemento ${\displaystyle ab}$ in ${\displaystyle I}$, almeno uno dei due elementi ${\displaystyle a}$ o ${\displaystyle b}$ appartiene ad ${\displaystyle I}$.

Se ogni elemento ${\displaystyle x}$ di ${\displaystyle I}$ può essere scritto come

${\displaystyle x=\sum _{k=1}^{n}a_{k}i_{k}}$

dove ${\displaystyle a_{k}}$ è un elemento di ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle \{i_{k}:k=1,\dots ,n\}}$ è un sottoinsieme finito fissato di ${\displaystyle I}$, diciamo che ${\displaystyle I}$ è finitamente generato e si scriverà ${\displaystyle I=(i_{1},\dots ,i_{n})}$. Se ${\displaystyle I}$ è generato da un solo elemento diciamo che è un ideale principale.

Il concetto di ideale fu introdotto da Ernst Kummer, per generalizzare il teorema fondamentale dell'aritmetica, che asserisce l'unicità della scomposizione di un numero intero in fattori primi. Tale unicità non è più valida se si considerano estensioni dei numeri interi, come l'anello

${\displaystyle \mathbb {Z} \left[{\sqrt {-5}}\right]=\left\{m+n{\sqrt {-5}}\mid m,\,n\in \mathbb {Z} \right\}}$.

Ad esempio, il numero 6 ha due possibili scomposizioni in numeri primi:

${\displaystyle 6=2\times 3=\left(1+{\sqrt {-5}}\right)\left(1-{\sqrt {-5}}\right)}$.

I primi ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$, ${\displaystyle {\frac {\left(1+{\sqrt {-5}}\right)}{\sqrt {2}}}}$ e ${\displaystyle {\frac {\left(1-{\sqrt {-5}}\right)}{\sqrt {2}}}}$, consentono una scomposizione unica di ${\displaystyle 6}$, tuttavia essi non appartengono a ${\displaystyle \mathbb {Z} \left[{\sqrt {-5}}\right]}$, anche se vi appartiene ogni loro prodotto. Per tale caratteristica, Kummer denominò questi numeri come "primi ideali", dimostrando la decomposizione unica degli ideali in ideali primi per molte estensioni di ${\displaystyle \mathbb {Z} }$. Gli ideali furono pertanto definiti come gli insiemi formati dai prodotti di numeri ideali; a partire da questa idea, Richard Dedekind diede nel 1871 la definizione attuale di ideale.

• Un ideale è proprio se e solo se non contiene l'unità dell'anello. Infatti appartengono all'ideale tutti i numeri ottenuti moltiplicando un qualsiasi elemento di A per 1.
• Più in generale risulta che ${\displaystyle u\in I\Rightarrow I\equiv A}$ se ${\displaystyle u}$ è invertibile. Infatti se ${\displaystyle u}$ è invertibile ${\displaystyle u^{-1}\in A}$, quindi anche ${\displaystyle uu^{-1}=1\in I}$ e ci si riporta al caso precedente.
• L'anello quoziente ${\displaystyle A/I}$ è un dominio d'integrità se e solo se ${\displaystyle I}$ è un ideale primo.
• L'anello quoziente ${\displaystyle A/I}$ è un campo se e solo se ${\displaystyle I}$ è un ideale massimale.
• Gli ideali giocano un ruolo simile a quello dei sottogruppi normali nei teoremi di isomorfismo sugli anelli.
• Un ideale può essere visto come sottomodulo di un anello e molti teoremi sugli ideali possono essere estesi alla teoria dei moduli.

Si definiscono somma e prodotto di ideali gli ideali definiti nel seguente modo:

${\displaystyle I+J:=\{a+b\,|\,a\in I,b\in J\}}$

e

${\displaystyle IJ:=\{a_{1}b_{1}+\dots +a_{n}b_{n}\,|\,a_{i}\in I,b_{i}\in J,i=1,2,\dots ,n;{\mbox{ per }}n=1,2,\dots \},}$

Il prodotto di ideali è contenuto nella loro intersezione, mentre l'unione di due ideali è contenuta nella loro somma.

L'intersezione di due ideali è ancora un ideale, mentre l'unione non sempre.

Un'altra operazione è il radicale di un ideale.

• Gli interi pari formano un ideale nell'anello ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ di tutti gli interi.
• Nell'anello ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ degli interi, ogni ideale proprio è principale.
• L'insieme di tutti i polinomi a coefficienti reali divisibili per il polinomio ${\displaystyle x^{2}+1}$ è un ideale nell'anello di tutti i polinomi.
• L'insieme delle matrici quadrate con ${\displaystyle n}$ righe aventi l'ultima colonna nulla formano un ideale sinistro nell'anello di tutte le matrici quadrate con ${\displaystyle n}$ righe. Non è un ideale destro!
• L'anello ${\displaystyle C(\mathbb {R} )}$ di tutte le funzioni continue da ${\displaystyle \mathbb {R} }$ in ${\displaystyle \mathbb {R} }$ contiene l'ideale di tutte le funzioni continue ${\displaystyle f}$ tali che ${\displaystyle f(1)=0}$.
• ${\displaystyle \{0\}}$ e ${\displaystyle A}$ sono ideali in qualsiasi anello ${\displaystyle A}$. Se ${\displaystyle A}$ è commutativo, allora ${\displaystyle A}$ è un campo se e solo se questi sono gli unici ideali di ${\displaystyle A}$.

• Israel Nathan Herstein, Algebra, Editori Riuniti University Press, 2010, ISBN 978-88-6473-210-7
• Michael Artin (1997): Algebra, Bollati Boringhieri, ISBN 8833955869
• Serge Lang, Algebra, (EN) Springer, 2002, ISBN 978-0-387-95385-4
• Piergiorgio Odifreddi, Quell'idealismo dei matematici, in le Scienze, luglio 2007, p. 105.

• Anello (algebra)
• Decomposizione primaria

• Wikizionario contiene il lemma di dizionario «ideale»
• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file sull'ideale

• Ideale, su Treccani.it – Enciclopedie on line, Istituto dell'Enciclopedia Italiana.
• Ideale, in Dizionario delle scienze fisiche, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 1996.
• ideale, su sapere.it, De Agostini.
• Ideale, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
• (EN) William L. Hosch, ideal, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Opere riguardanti Ideals (Algebra), su Open Library, Internet Archive.
• (EN) Eric W. Weisstein, Ideal, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Ideal, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.

V · D · M Algebra
Numeri	Naturali · Interi · Razionali · Irrazionali · Algebrici · Trascendenti · Reali · Complessi · Numero ipercomplesso · Numero p-adico · Duali · Complessi iperbolici
Principi fondamentali	Principio d'induzione · Principio del buon ordinamento · Relazione di equivalenza · Relazione d'ordine · Associatività della potenza
Algebra elementare	Equazione · Disequazione · Polinomio · Triangolo di Tartaglia · Teorema binomiale · Teorema del resto · Lemma di Gauss · Teorema delle radici razionali · Regola di Ruffini · Criterio di Eisenstein · Criterio di Cartesio · Disequazione con il valore assoluto · Segno · Metodo di Gauss-Seidel · Polinomio simmetrico · Funzione simmetrica
Elementi di Calcolo combinatorio	Fattoriale · Permutazione · Disposizione · Combinazione · Dismutazione · Principio di inclusione-esclusione
Concetti fondamentali di Teoria dei numeri	Primi Numero primo · Teorema dell'infinità dei numeri primi · Crivello di Eratostene · Crivello di Atkin · Test di primalità · Teorema fondamentale dell'aritmetica Divisori Interi coprimi · Identità di Bézout · MCD · mcm · Algoritmo di Euclide · Algoritmo esteso di Euclide · Criteri di divisibilità · Divisore Aritmetica modulare Teorema cinese del resto · Piccolo teorema di Fermat · Teorema di Eulero · Funzione φ di Eulero · Teorema di Wilson · Reciprocità quadratica
Teoria dei gruppi	Gruppi Gruppo (finito · ciclico · abeliano) · Gruppo primario · Gruppo quoziente · Gruppo nilpotente · Gruppo risolubile · Gruppo simmetrico · Gruppo diedrale · Gruppo semplice · Gruppo sporadico · Gruppo mostro · Gruppo di Klein · Gruppo dei quaternioni · Gruppo generale lineare · Gruppo ortogonale · Gruppo unitario · Gruppo unitario speciale · Gruppo residualmente finito · Gruppo spaziale · Gruppo profinito · Out(Fn) · Parola · Prodotto diretto · Prodotto semidiretto · Prodotto intrecciato Teoremi Alternativa di Tits · Teorema di isomorfismo · Teorema di Lagrange · Teorema di Cauchy · Teoremi di Sylow · Teorema di Cayley · Teorema di struttura dei gruppi abeliani finiti · Lemma della farfalla · Lemma del ping-pong · Classificazione dei gruppi semplici finiti Sottoinsiemi Sottogruppo · Sottogruppo normale · Sottogruppo caratteristico · Sottogruppo di Frattini · Sottogruppo di torsione · Classe laterale · Classe di coniugio · Serie di composizione Omomorfismo · Isomorfismo · Automorfismo interno · Automorfismo esterno · Permutazione · Presentazione di un gruppo · Azione di gruppo
Teoria degli anelli	Anello (artiniano · noetheriano · locale) · Caratteristica · Ideale (primo · massimale) · Dominio (a fattorizzazione unica · a ideali principali · euclideo) · Matrice · Anello semplice · Anello degli endomorfismi · Teorema di Artin-Wedderburn · Modulo · Dominio di Dedekind · Estensione di anelli · Teorema della base di Hilbert · Anello di Gorenstein · Base di Gröbner · Prodotto tensoriale · Primo associato
Teoria dei campi	Campo · Polinomio irriducibile · Polinomio ciclotomico · Teorema fondamentale dell'algebra · Campo finito · Automorfismo · Endomorfismo di Frobenius Estensioni Campo di spezzamento · Estensione di campi · Estensione algebrica · Estensione separabile · Chiusura algebrica · Campo di numeri · Estensione normale · Estensione di Galois · Estensione abeliana · Estensione ciclotomica · Teoria di Kummer Teoria di Galois Gruppo di Galois · Teoria di Galois · Teorema fondamentale della teoria di Galois · Teorema di Abel-Ruffini · Costruzioni con riga e compasso
Altre strutture algebriche	Magma · Semigruppo · Corpo · Spazio vettoriale · Algebra su campo · Algebra di Lie · Algebra differenziale · Algebra di Clifford · Gruppo topologico · Gruppo ordinato · Quasi-anello · Algebra di Boole
argomenti	Teoria delle categorie · Algebra lineare · Algebra commutativa · Algebra omologica · Algebra astratta · Algebra computazionale · Algebra differenziale · Algebra universale

Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica