Disequazione con il valore assoluto

In matematica una disequazione con valore assoluto è una disequazione del tipo ${\displaystyle \left|f(x)\right|\gtreqless g(x)}$, dove:

• ${\displaystyle f}$ e ${\displaystyle g}$ sono due funzioni qualsiasi.^[1]

Consideriamo prima di tutto il caso in cui ${\displaystyle g(x)=k\in \mathbb {R} }$ . Si ha pertanto ${\displaystyle \left|f(x)\right|\gtreqless k}$.

Le disequazioni di questo tipo si possono risolvere in maniera meccanica a seconda del valore di ${\displaystyle k}$, sfruttando il fatto che il valore assoluto di un numero è sempre maggiore o uguale a ${\displaystyle 0}$.^[2]

• ${\displaystyle \left|f(x)\right|\leq k}$

Non può mai capitare che il primo membro sia minore o uguale a un numero negativo. La disequazione è impossibile.

• ${\displaystyle \ \left|f(x)\right|<k}$

Non può mai capitare che il primo membro sia minore di un numero negativo. La disequazione è impossibile.

• ${\displaystyle \left|f(x)\right|\geq k}$

Il primo membro (nei punti dove è definito) è sempre maggiore o uguale di un numero negativo.

La soluzione è ${\displaystyle \forall x\in D}$, dove ${\displaystyle D}$ è il dominio di ${\displaystyle f}$.

• ${\displaystyle \left|f(x)\right|>k}$

Il primo membro (nei punti dove è definito) è sempre maggiore di un numero negativo.

La soluzione è ${\displaystyle \forall x\in D}$, dove ${\displaystyle D}$ è il dominio di ${\displaystyle f}$.

• ${\displaystyle \left|f(x)\right|<0}$

Il primo membro non potrà mai essere minore di zero. La disequazione è impossibile.

• ${\displaystyle \left|f(x)\right|\leq 0}$

Le uniche soluzioni sono quelle che rendono il primo membro uguale a zero, quindi risolvere questa disequazione è equivalente a risolvere l'equazione ${\displaystyle f(x)=0}$.

• ${\displaystyle \left|f(x)\right|>0}$

Vanno bene tutti i valori tranne quelli che rendono nulla ${\displaystyle f(x)}$. Pertanto in questo caso bisogna risolvere ${\displaystyle f(x)\neq 0}$.

• ${\displaystyle \left|f(x)\right|\geq 0}$

Qualunque elemento del dominio è accettato: la soluzione è ${\displaystyle \forall x\in D}$, sempre con ${\displaystyle D}$ dominio di ${\displaystyle f}$.

In questo caso ci si riporta a disequazioni senza valore assoluto:

• ${\displaystyle \left|f(x)\right|<k}$

È equivalente a ${\displaystyle -k<f(x)<k}$, cioè al sistema ${\displaystyle {\begin{cases}f(x)>-k\\f(x)<k\end{cases}}}$

• ${\displaystyle \left|f(x)\right|\leq k}$

È equivalente a ${\displaystyle -k\leq f(x)\leq k}$, cioè al sistema ${\displaystyle {\begin{cases}f(x)\geq -k\\f(x)\leq k\end{cases}}}$

• ${\displaystyle \left|f(x)\right|>k}$

È equivalente a ${\displaystyle f(x)<-k\quad \vee \quad f(x)>k}$

• ${\displaystyle \left|f(x)\right|\geq k}$

È equivalente a ${\displaystyle f(x)\leq -k\quad \vee \quad f(x)\geq k}$

In questo caso sia a primo membro che al secondo ci sono due funzioni di ${\displaystyle x}$, e il metodo risolutivo dipende dal segno di disuguaglianza presente tra di esse.^[3]

La disequazione è equivalente a ${\displaystyle {\begin{cases}f(x)\geq 0\\f(x)<g(x)\end{cases}}\vee {\begin{cases}f(x)<0\\f(x)>-g(x)\end{cases}}}$

o, in alternativa, a ${\displaystyle -g(x)<f(x)<g(x)}$

La disequazione è equivalente a ${\displaystyle {\begin{cases}f(x)\geq 0\\f(x)\leq g(x)\end{cases}}\vee {\begin{cases}f(x)<0\\f(x)\geq -g(x)\end{cases}}}$

o, in alternativa, a ${\displaystyle -g(x)\leq f(x)\leq g(x)}$

La disequazione è equivalente a ${\displaystyle {\begin{cases}f(x)\geq 0\\f(x)>g(x)\end{cases}}\vee {\begin{cases}f(x)<0\\f(x)<-g(x)\end{cases}}}$

o, in alternativa, a ${\displaystyle f(x)<-g(x)\vee f(x)>g(x)}$

La disequazione è equivalente a ${\displaystyle {\begin{cases}f(x)\geq 0\\f(x)\geq g(x)\end{cases}}\vee {\begin{cases}f(x)<0\\f(x)\leq -g(x)\end{cases}}}$

o, in alternativa, a ${\displaystyle f(x)\leq -g(x)\vee f(x)\geq g(x)}$

${\displaystyle \left|x-1\right|+\left|2x+3\right|<2}$

Nel caso siano presenti due o più valori assoluti è necessario aprire i valori assoluti secondo la definizione:^[4]

${\displaystyle \left|a\right|=\left\{{\begin{matrix}a&a\geq 0\\-a&a<0\end{matrix}}\right.}$

Quindi nell'esercizio proposto i due valori assoluti diventano:

${\displaystyle \left|x-1\right|=\left\{{\begin{matrix}x-1&x\geq 1\\-(x-1)&x<1\end{matrix}}\right.}$

e ${\displaystyle \left|2x+3\right|=\left\{{\begin{matrix}2x+3&x\geq -{\frac {3}{2}}\\-(2x+3)&x<-{\frac {3}{2}}\end{matrix}}\right.}$

Si individuano pertanto gli intervalli dell'asse reale in cui gli argomenti dei valori assoluti mantengono il loro segno. In questo caso ci sono tre intervalli e in tali intervalli i valori assoluti vengono aperti:

${\displaystyle {\begin{cases}x<-{\frac {3}{2}}\\-(x-1)-(2x+3)<2\end{cases}}\vee {\begin{cases}-{\frac {3}{2}}\leq x<1\\-(x-1)+(2x+3)<2\end{cases}}\vee {\begin{cases}x\geq 1\\(x-1)+(2x+3)<2\end{cases}}}$

Le soluzioni dei tre sistemi vanno unite nell'insieme di soluzione della disequazione data in partenza.

• Massimo Bergamini, Graziella Barozzi, Anna Trifone, Matematica.blu (seconda edizione) Vol.1, Zanichelli - Bologna, 2018, ISBN 978-88-08-22085-1.
• Marzia Re Fraschini, Gabriella Grazzi, I principi della matematica (Volume 1), Atlas, 2012, ISBN 978-88-268-1680-7.
• Nella Dodero, Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Nuovo corso di geometria analitica e di complementi di algebra, Ghisetti e Corvi, 1995, ISBN 88-80-13173-7.

• Valore assoluto
• Disequazione algebrica

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