Numero algebrico

In matematica, un numero algebrico è un numero reale o complesso che è soluzione di un'equazione polinomiale della forma:

${\displaystyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}=0,}$

dove ${\displaystyle n>0}$, ogni ${\displaystyle a_{i}}$ è un intero, e ${\displaystyle a_{n}}$ è diverso da ${\displaystyle 0}$.

In una definizione equivalente si richiede che i coefficienti del polinomio siano numeri razionali. È sufficiente moltiplicare l'identità per un multiplo comune a tutti i denominatori dei coefficienti per ricondursi al caso intero.

• Tutti i numeri razionali sono algebrici perché ogni frazione ${\displaystyle -{\frac {a}{b}}}$ è soluzione di ${\displaystyle bx+a=0}$; di conseguenza anche gli interi sono algebrici: tutti i numeri interi ${\displaystyle -k}$ sono radici dell'equazione ${\displaystyle x+k=0}$.
• Alcuni numeri irrazionali come ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ (la radice quadrata di 2) e ${\displaystyle {\frac {\sqrt[{3}]{3}}{2}}}$(la radice cubica di 3 divisa per 2) sono algebrici perché radici, rispettivamente, di ${\displaystyle x^{2}-2=0}$ e ${\displaystyle 8x^{3}-3=0}$. In generale sono algebrici i numeri razionali e irrazionali definibili tramite radicali e operazioni con numeri interi, anche se non tutte le soluzioni delle equazioni possono essere espresse in questo modo (conseguenza in parte del teorema di Abel-Ruffini). Da notare che gli irrazionali π e e non sono però algebrici: sono cioè trascendenti. In generale, non tutti i reali sono algebrici (come d'altronde non tutti gli algebrici sono reali). Si può affermare che i reali algebrici, ovvero l'intersezione tra algebrici e reali, è formata dagli irrazionali algebrici e dai razionali.
• L'unità immaginaria (${\displaystyle i}$) e il suo opposto (${\displaystyle -i}$), soluzioni dell'equazione ${\displaystyle x^{2}+1=0}$, e in generale tutti i numeri complessi ${\displaystyle z=a+ib}$, con ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ razionali, sono algebrici.

Se un numero algebrico soddisfa un'equazione come quella data sopra con un polinomio di grado ${\displaystyle n}$ e nessuna equazione di grado inferiore, allora si dice che il numero è un numero algebrico di grado ${\displaystyle n}$.

Per ogni intero ${\displaystyle n}$ esistono degli algebrici di grado ${\displaystyle n}$: infatti, attraverso il criterio di Eisenstein, è possibile costruire polinomi irriducibili a coefficienti razionali di grado ${\displaystyle n}$ qualunque: esso sarà il polinomio minimo di qualche algebrico, che sarà quindi di grado ${\displaystyle n}$.

Quello dei numeri algebrici è un insieme numerabile: infatti l'insieme dei polinomi a coefficienti interi (o razionali) è numerabile e le soluzioni di ciascun polinomio sono in numero finito. L'insieme di tutte le soluzioni, essendo unione di una famiglia numerabile di insiemi finiti, è a sua volta numerabile.

Lo stesso argomento in dettaglio: Numero trascendente.

Se un numero reale (o complesso) non è un numero algebrico, viene chiamato numero trascendente. In conseguenza di quanto già detto per gli algebrici, la cardinalità dei numeri trascendenti è pari a quella del campo di partenza.

Le operazioni di somma, differenza, prodotto e quoziente di due numeri algebrici generano ancora numeri algebrici, pertanto essi formano un campo, indicabile con ${\displaystyle \mathbb {A} }$. Si può dimostrare che se ammettiamo che i coefficienti ${\displaystyle a_{i}}$ siano numeri algebrici qualsiasi, allora ogni soluzione dell'equazione sarà ancora un numero algebrico. Ciò può essere espresso in altre parole dicendo che il campo dei numeri algebrici è algebricamente chiuso. Infatti, è il più piccolo campo algebricamente chiuso che contiene i numeri razionali, ed è quindi chiamato la chiusura algebrica dei razionali.

Tutti i numeri che possono essere scritti usando un numero finito di addizioni, sottrazioni, moltiplicazioni, divisioni ed estrazioni di radici ${\displaystyle n}$-esime (dove ${\displaystyle n}$ è un intero positivo) sono anche algebrici. L'inverso, tuttavia, non è vero: vi sono numeri algebrici che non possono essere scritti in questa maniera. Si tratta delle soluzioni delle equazioni polinomiali di grado superiore al quarto. Questo è un risultato della teoria di Galois.

Un numero algebrico che soddisfa un'equazione polinomiale di grado ${\displaystyle n}$ con ${\displaystyle a_{n}=1}$ (cioè, un polinomio monico a coefficienti interi), è chiamato intero algebrico. Esempi di interi algebrici sono ${\displaystyle 3{\sqrt {2}}+5}$ e ${\displaystyle 6i-2}$ e ${\displaystyle -{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}i}$.

Somma, differenza e prodotto di interi algebrici sono di nuovo interi algebrici, che implica che gli interi algebrici formano un anello. Il nome intero algebrico è dovuto al fatto che gli unici numeri razionali appartenenti a questa classe sono gli interi.

Se ${\displaystyle K}$ è un campo numerico, il suo anello di interi è il sottoanello degli interi algebrici in ${\displaystyle K}$.

• Intero gaussiano
• Intero di Eisenstein
• Irrazionale quadratico
• Unità fondamentale
• Radice dell'unità
• Numero di Pisot-Vijayaraghavan
• Numero di Salem

• Numeri reali
• Estensione algebrica
• Teorema di Lindemann-Weierstrass

• Wikizionario contiene il lemma di dizionario «numero algebrico»
• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file sul numero algebrico

• Luca Tomassini, Numeri algebrici, in Enciclopedia della scienza e della tecnica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2007-2008.
• Numero algebrico, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
• (EN) algebraic number, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Opere riguardanti Algebraic Numbers, su Open Library, Internet Archive.
• (EN) Eric W. Weisstein, Algebraic Number, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Algebraic number, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.
• Numeri algebrici su progettomatematica.dm.unibo.it

V · D · M Algebra
Numeri	Naturali · Interi · Razionali · Irrazionali · Algebrici · Trascendenti · Reali · Complessi · Numero ipercomplesso · Numero p-adico · Duali · Complessi iperbolici
Principi fondamentali	Principio d'induzione · Principio del buon ordinamento · Relazione di equivalenza · Relazione d'ordine · Associatività della potenza
Algebra elementare	Equazione · Disequazione · Polinomio · Triangolo di Tartaglia · Teorema binomiale · Teorema del resto · Lemma di Gauss · Teorema delle radici razionali · Regola di Ruffini · Criterio di Eisenstein · Criterio di Cartesio · Disequazione con il valore assoluto · Segno · Metodo di Gauss-Seidel · Polinomio simmetrico · Funzione simmetrica
Elementi di Calcolo combinatorio	Fattoriale · Permutazione · Disposizione · Combinazione · Dismutazione · Principio di inclusione-esclusione
Concetti fondamentali di Teoria dei numeri	Primi Numero primo · Teorema dell'infinità dei numeri primi · Crivello di Eratostene · Crivello di Atkin · Test di primalità · Teorema fondamentale dell'aritmetica Divisori Interi coprimi · Identità di Bézout · MCD · mcm · Algoritmo di Euclide · Algoritmo esteso di Euclide · Criteri di divisibilità · Divisore Aritmetica modulare Teorema cinese del resto · Piccolo teorema di Fermat · Teorema di Eulero · Funzione φ di Eulero · Teorema di Wilson · Reciprocità quadratica
Teoria dei gruppi	Gruppi Gruppo (finito · ciclico · abeliano) · Gruppo primario · Gruppo quoziente · Gruppo nilpotente · Gruppo risolubile · Gruppo simmetrico · Gruppo diedrale · Gruppo semplice · Gruppo sporadico · Gruppo mostro · Gruppo di Klein · Gruppo dei quaternioni · Gruppo generale lineare · Gruppo ortogonale · Gruppo unitario · Gruppo unitario speciale · Gruppo residualmente finito · Gruppo spaziale · Gruppo profinito · Out(Fn) · Parola · Prodotto diretto · Prodotto semidiretto · Prodotto intrecciato Teoremi Alternativa di Tits · Teorema di isomorfismo · Teorema di Lagrange · Teorema di Cauchy · Teoremi di Sylow · Teorema di Cayley · Teorema di struttura dei gruppi abeliani finiti · Lemma della farfalla · Lemma del ping-pong · Classificazione dei gruppi semplici finiti Sottoinsiemi Sottogruppo · Sottogruppo normale · Sottogruppo caratteristico · Sottogruppo di Frattini · Sottogruppo di torsione · Classe laterale · Classe di coniugio · Serie di composizione Omomorfismo · Isomorfismo · Automorfismo interno · Automorfismo esterno · Permutazione · Presentazione di un gruppo · Azione di gruppo
Teoria degli anelli	Anello (artiniano · noetheriano · locale) · Caratteristica · Ideale (primo · massimale) · Dominio (a fattorizzazione unica · a ideali principali · euclideo) · Matrice · Anello semplice · Anello degli endomorfismi · Teorema di Artin-Wedderburn · Modulo · Dominio di Dedekind · Estensione di anelli · Teorema della base di Hilbert · Anello di Gorenstein · Base di Gröbner · Prodotto tensoriale · Primo associato
Teoria dei campi	Campo · Polinomio irriducibile · Polinomio ciclotomico · Teorema fondamentale dell'algebra · Campo finito · Automorfismo · Endomorfismo di Frobenius Estensioni Campo di spezzamento · Estensione di campi · Estensione algebrica · Estensione separabile · Chiusura algebrica · Campo di numeri · Estensione normale · Estensione di Galois · Estensione abeliana · Estensione ciclotomica · Teoria di Kummer Teoria di Galois Gruppo di Galois · Teoria di Galois · Teorema fondamentale della teoria di Galois · Teorema di Abel-Ruffini · Costruzioni con riga e compasso
Altre strutture algebriche	Magma · Semigruppo · Corpo · Spazio vettoriale · Algebra su campo · Algebra di Lie · Algebra differenziale · Algebra di Clifford · Gruppo topologico · Gruppo ordinato · Quasi-anello · Algebra di Boole
argomenti	Teoria delle categorie · Algebra lineare · Algebra commutativa · Algebra omologica · Algebra astratta · Algebra computazionale · Algebra differenziale · Algebra universale

Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica