Classe di coniugio

In matematica e specialmente in teoria dei gruppi, gli elementi di un gruppo possono essere divisi in classi di coniugio; gli elementi di una stessa classe di coniugio condividono molte proprietà, e il loro studio nel caso di gruppi non abeliani può essere di aiuto per la comprensione della loro struttura. Nel caso di gruppi abeliani, al contrario, ogni classe di coniugio è formata da un singolo elemento del gruppo.^[1]

Sia ${\displaystyle G}$ un gruppo. Due elementi ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle x^{*}}$ di ${\displaystyle G}$ sono detti coniugati se esiste un terzo elemento ${\displaystyle g}$ in ${\displaystyle G}$ tale che ${\displaystyle gxg^{-1}=x^{*}}$. Si dimostra che la relazione di coniugio è una relazione di equivalenza, ed esiste quindi una partizione di ${\displaystyle G}$ in insiemi disgiunti ognuno detto classe di equivalenza rispetto un elemento ${\displaystyle x}$ fissato:

${\displaystyle \operatorname {Co_{G}} (\cdot x)={Co}(\cdot x)=G\circ x=\{x^{*}\in G|x^{*}=gxg^{-1},g\in G\}\subseteq G,}$

${\displaystyle \operatorname {Co_{G}} (x\cdot )={Co}(x\cdot )=x^{*}\circ G=\{x\in G|g^{-1}x^{*}g=x,g\in G\}\subseteq G,}$

per azione sinistra o destra e in genere vengono dette orbite di ${\displaystyle x}$, e nel caso dell'azione di ${\displaystyle G}$ su ${\displaystyle G}$ viene detta classe di coniugio di ${\displaystyle x}$. Da notare che questi due tipi di classi coincidono e sono dei sottoinsiemi non dei sottogruppi di ${\displaystyle G}$. Se con ${\displaystyle n_{O}=\left|X/G\right|}$^[2] indichiamo il numero di orbite o classi di coniugio distinte, allora possiamo definire l'insieme degli elementi rappresentativi delle singole classi come:

${\displaystyle G_{\mbox{csr}}=\{x_{1},\ x_{2}\ldots ,x_{n_{O}}\}\subseteq X,}$

dove per l'azione di coniugio si ha ${\displaystyle X=G}$ e csr le iniziali di complete system of rapresentatives. Il numero delle orbite o classi di coniugio si può ricavare con più metodi:

• la ricerca degli elementi ${\displaystyle x}$ fissati da ${\displaystyle g}$ (lemma di Burnside^[2])
• la partizione di ${\displaystyle n}$ che corrisponde al numero di tipi di cicli del gruppo simmetrico ${\displaystyle S_{n}}$ (poiché c'è un isomorfismo tra ${\displaystyle G}$ e il gruppo simmetrico per il teorema di Cayley).

Descriviamo ogni classe di coniugio come una classe d'equivalenza rispetto alla relazione di equivalenza ${\displaystyle \sim _{G\cdot }}$ definita in ${\displaystyle G}$ ponendo per ${\displaystyle a,b\in G}$:

${\displaystyle a\sim _{G\cdot }b\Longleftrightarrow gag^{-1}=b\Longleftrightarrow b\in \operatorname {Co} (a).}$

La classe d'equivalenza contenente l'elemento ${\displaystyle g}$ è proprio ${\displaystyle Hg}$: infatti ${\displaystyle g=eg}$, dove ${\displaystyle e}$ è l'elemento neutro di ${\displaystyle G}$, quindi ${\displaystyle e\in H}$ perché ${\displaystyle H}$ è un sottogruppo.

Anche ogni classe coniugio sinistra può essere definita con una relazione di equivalenza analoga:

${\displaystyle a\sim _{\cdot G}b\Longleftrightarrow g^{-1}bg=a\Longleftrightarrow a\in \operatorname {Co} (b).}$

L'insieme quoziente destro o sinistro mediante la relazione di equivalenza, cioè l'insieme o collezione delle classi coniugio distinte o disgiunte in cui è partizionato ${\displaystyle G}$ si definisce come:

${\displaystyle G/\sim _{\cdot G}=G/\sim _{G\cdot }:=\{\operatorname {Co} (x)\,|\,x\in G\},}$

dove l'elemento ${\displaystyle x}$ è il rappresentante della classe di coniugio. Cioè le partizioni destre e sinistre coincidono e quindi qualsiasi sottogruppo è sempre normale.

• L'unità appartiene sempre ad una propria classe di coniugio, cioè: ${\displaystyle \operatorname {Co} (e)=\{e\}}$. Infatti si ha:

${\displaystyle geg^{-1}=gg^{-1}=e,\quad \forall g\in G.}$

• Se ${\displaystyle G}$ è abeliano, ${\displaystyle \operatorname {Co} (x)=\{x\}}$ per ogni ${\displaystyle x}$ in ${\displaystyle G}$. In questo caso si ha che il centro ${\displaystyle \operatorname {Z} (G)}$ coincide con ${\displaystyle G}$.
• Se due elementi ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$ appartengono alla stessa classe di coniugio, allora condividono lo stesso ordine. In particolare per il gruppo simmetrico devono avere tutti la stessa struttura ciclica o il tipo, cioè:

${\displaystyle \operatorname {Co} (x)=\{x\in S_{n}:x=[{l_{1}}^{k_{1}}\ \ldots \ {l_{r}}^{k_{r}}]\}.}$

quindi un ${\displaystyle \alpha \in \operatorname {Co} (x)}$ ha ${\displaystyle l_{1},l_{2},\ldots ,l_{r}}$ numeri interi che rappresentano le lunghezze dei cicli nella struttura ciclica di ${\displaystyle \alpha }$ (cioè 1-ciclo, 2-ciclo, ...), mentre ${\displaystyle k_{i}}$ indica il numero di cicli aventi stessa lunghezza ${\displaystyle l_{i}}$ con l'indice ${\displaystyle i=1,2,\ldots ,r}$, e rappresentando un singolo ciclo con la notazione ${\displaystyle {\alpha _{k_{i}}}^{l_{i}}=({a_{1}}^{k_{i}}\ {a_{2}}^{k_{i}}\ \ldots {a_{l_{i}}}^{k_{i}})}$ abbiamo:

${\displaystyle \alpha =\sum _{i=1}^{r}\left({\alpha _{1}}^{l_{i}}\cdots {\alpha _{k_{i}}}^{l_{i}}\right)\ =\ \sum _{i=1}^{r}\left(\sum _{j=1}^{k_{i}}\alpha _{j}^{l_{i}}\right)}$

essendo ${\displaystyle \sum \limits _{i=1}^{r}k_{i}l_{i}=n}$. Allora il numero dei coniugati o dello stesso tipo di ${\displaystyle \alpha }$ è:^[3]

${\displaystyle |\operatorname {Co} (x)|={\frac {n!}{\left(k_{1}!\ l_{1}^{k_{1}}\right)\left(k_{2}!\ l_{2}^{k_{2}}\right)\cdots \left(k_{r}!\ l_{r}^{k_{r}}\right)}}={\frac {n!}{\left(l_{1}^{k_{1}}\ l_{2}^{k_{2}}\cdots \ l_{r}^{k_{r}}\right)\left(k_{1}!\ k_{2}!\ \cdots k_{r}!\ \right)}}={\frac {n!}{\prod _{i=1}^{r}\ l_{i}^{k_{i}}\ k_{i}!}}.}$

• Un elemento di ${\displaystyle G}$ appartiene al centro ${\displaystyle \operatorname {Z} (G)}$ di ${\displaystyle G}$ se e solo se la sua classe di coniugio è formata solo dall'elemento stesso. In simboli:

${\displaystyle x\in \operatorname {Z} (G)\iff \operatorname {Co} (x)=\{x\}.}$

• Se due elementi ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$ sono coniugati, allora lo sono anche le loro potenze di ordine ${\displaystyle k}$, cioè ${\displaystyle x^{k}}$ e ${\displaystyle y^{k}}$.

Si può definire l'azione di coniugio sinistra come l'azione di ${\displaystyle G}$ in sé stesso:

${\displaystyle g\cdot x=gxg^{-1}=y;}$

oppure l'azione di coniugio destra

${\displaystyle y\cdot g=g^{-1}yg=x,}$

per la proprietà simmetrica della relazione di coniugio. Le orbite dell'azione di coniugio vengono dette le classi di coniugio di ${\displaystyle x,}$ che denotiamo ${\displaystyle \operatorname {Co} (x)}$ già definita, mentre lo stabilizzatore di ogni elemento in questo caso viene detto il suo centralizzatore (o centralizzante) che denotiamo ${\displaystyle \operatorname {C} _{G}(x)}$ e, per l'uso successivo, ne riportiamo la definizione:

${\displaystyle \operatorname {C} _{G}(x)=\{g\in G|\ gxg^{-1}=x\}=\{g\in G|\ gx=xg\}\leq G}$

ed è un sottogruppo di ${\displaystyle G,}$ per cui ha senso considerare le classi laterali destre e sinistre, ed anche il numero di tali classi o l'indice ${\displaystyle [G\ :\ \operatorname {C} _{G}(x)]}$.

Allo stesso modo si può definire l'azione di coniugio sinistra di ${\displaystyle G}$ sulla famiglia ${\displaystyle S}$ dei sottoinsiemi o dei sottogruppi di ${\displaystyle G}$ con ${\displaystyle S=\{H:H<G,\{e\},G\}}$ che comprende i sottogruppi propri e quelli banali o impropri cioè ${\displaystyle \{e\}}$ e ${\displaystyle G}$ stesso:

${\displaystyle g\cdot H=gHg^{-1}=K;}$

oppure l'azione di coniugio destra

${\displaystyle K\cdot g=g^{-1}Kg=H,}$

per la proprietà simmetrica della relazione di coniugio.

Sottogruppo coniugato

Possiamo definire il sottogruppo coniugato come:

${\displaystyle H^{g}=gHg^{-1}=\{ghg^{-1}\ :\ h\in H\}\leq G}$

che si dimostra essere ancora un sottogruppo di ${\displaystyle G.}$ L'insieme di tutti i coniugati di ${\displaystyle H}$ si denota:

${\displaystyle \operatorname {Co} (H)=G\circ H=\{gHg^{-1}\ :\ g\in G\}=\{H^{g}|g\in G\}}$

e, mentre le classi di coniugio sono formate da elementi dello stesso ordine, qui le classi sono formate da sottogruppi con stesso indice ${\displaystyle [G:H]=[G:H^{g}]}$. Infine lo stabilizzatore di tale ${\displaystyle H}$ viene detto normalizzatore e, per completezza, ne riportiamo la definizione:

${\displaystyle N_{G}(H)=\{\ g\in G|gHg^{-1}=H\}.}$

Se ${\displaystyle G}$ è un gruppo finito, allora per ogni elemento ${\displaystyle x}$ del gruppo, ha senso costruire due insiemi per l'azione di coniugio a sinistra:

${\displaystyle \operatorname {Co} (x)=\{gxg^{-1},g\in G\}\subseteq G,\quad \operatorname {C} _{G}(x)=\{g\in G|\ gxg^{-1}=x\}=\{g\in G|\ gx=xg\}\leq G}$

e consideriamo le relative classi laterali sinistre:

${\displaystyle g\operatorname {C} _{G}(x)=\{gh,h\in \operatorname {C} _{G}(x)=H\}\subseteq G}$

facciamo vedere come gli elementi nella classe di coniugazione di ${\displaystyle x}$ sono in corrispondenza biunivoca con le classi laterali del centralizzatore ${\displaystyle \operatorname {C} _{G}(x).}$ Infatti due elementi ${\displaystyle g_{1},g_{2}\in g\operatorname {C} _{G}(x)}$ della stessa classe laterale danno origine allo stesso elemento coniugato ${\displaystyle x}$. In particolare con ${\displaystyle g=x}$ si ha:

${\displaystyle g_{1}=xh_{1},\quad g_{2}=xh_{2}\implies g_{2}{h_{2}}^{-1}=x\implies g_{1}=g_{2}{h_{2}}^{-1}h_{1}=g_{2}h^{'},\quad h_{1},h_{2}\in H.}$

Essendo facile far vedere che ${\displaystyle h^{'}\in \operatorname {C} _{G}(x)}$ si ha:

${\displaystyle g_{1}xg_{1}^{-1}=g_{2}h^{'}\ x\ (g_{2}h^{'})^{-1}=g_{2}h^{'}\ x\ {h^{'}}^{-1}g_{2}^{-1}=g_{2}\ x\ h^{'}{h^{'}}^{-1}g_{2}^{-1}=g_{2}xg_{2}^{-1},}$

cioè due elementi della stessa classe laterale corrispondono allo stesso elemento coniugato. In altro modo due elementi coniugati della stessa classe ${\displaystyle x,y\in \operatorname {Co} (x)}$ hanno i rispettivi centralizzanti ${\displaystyle \operatorname {C} _{G}(x),\operatorname {C} _{G}(y)}$ che sono coniugati. Vale anche il viceversa: se consideriamo due elementi della stessa classe di coniugio ${\displaystyle c_{1},c_{2}\in Co_{G}(x),}$ allora per le rispettive classi laterali sinistre rispetto al centralizzatore ${\displaystyle \operatorname {C} _{G}(x)}$ si ha ${\displaystyle c_{1}\operatorname {C} _{G}(x)=c_{2}\operatorname {C} _{G}(x)}$. Questo è un caso particolare del teorema orbita-stabilizzatore^[4], quando si considera il gruppo come agente su se stesso attraverso l'azione per coniugio (${\displaystyle G}$ è un ${\displaystyle G}$-insieme), dove le orbite sono le classi di coniugazione e i sottogruppi stabilizzatori sono i centralizzatori. In altri termini esiste una relazione che lega il centralizzante di un elemento con la classe di coniugio dello stesso:

${\displaystyle |G\circ x|=|Co(x)|=[G:\operatorname {C} _{G}(x)]=|G|\ /\ |\operatorname {C} _{G}(x)|,}$^[5]

con ${\displaystyle [G:\operatorname {C} _{G}(x)]}$ l'indice in ${\displaystyle G}$ del centralizzante di ${\displaystyle x}$ tramite ${\displaystyle G}$. Ossia il numero di elementi nella classe di coniugio di ${\displaystyle x}$ è l'indice ${\displaystyle \left[G:\operatorname {C} _{G}(x)\right]}$ del centralizzatore ${\displaystyle \operatorname {C} _{G}(x)}$ in ${\displaystyle G}$; quindi la dimensione di ogni classe di coniugio divide l'ordine del gruppo (${\displaystyle |G|}$).

Inoltre, nell'ipotesi di un centro banale, se scegliamo un singolo elemento rappresentativo ${\displaystyle x_{i}}$ da ogni classe di coniugio, essendo ${\displaystyle G}$ partizionato in ${\displaystyle n_{O}}$ classi disgiunte dalla relazione di coniugio, si ottiene

${\displaystyle G=\bigcup _{i=1}^{n_{O}}\ \operatorname {Co} (x_{i}),\qquad \operatorname {Co} (x_{i})\cap \operatorname {Co} (x_{j})=\varnothing ,\quad i,j=1,\ldots ,n_{O}\ i\neq j}$

e quindi prendendo l'ordine del primo membro e del secondo, si ottiene l'equazione delle classi:

${\displaystyle |G|=\sum _{i=1}^{n_{O}}\left[G:\operatorname {C} _{G}(x_{i})\right]=1+\sum _{i=2}^{n_{O}}{\frac {|G|}{|\operatorname {C} _{G}(x_{i})|}},}$

dove ${\displaystyle \operatorname {C} _{G}(x_{i})}$ è il centralizzatore di ${\displaystyle x_{i}.}$ Nell'ipotesi di centro non banale, osserviamo che ogni elemento ${\displaystyle y}$ che sta al centro ${\displaystyle \operatorname {Z} (G)\trianglelefteq G}$ (un sottogruppo normale) forma una classe di coniugio ${\displaystyle \operatorname {Co} (y)=\{y\}}$, che contiene il solo elemento ${\displaystyle y,}$ si ottiene la forma generale dell'equazione delle classi:^{[6][postille 1]}

${\displaystyle |G|=\sum _{i=1}^{n_{Oz}}|{\operatorname {Co} (y_{i})}|+\sum _{j=1}^{n_{O}}\left[G:\operatorname {C} _{G}(x_{j})\right]=|{\operatorname {Z} (G)}|+\sum _{j=1}^{n_{O}}{\frac {|G|}{|\operatorname {C} _{G}(x_{j})|}}=n_{Oz}+\sum _{j=1}^{n_{O}}{\frac {|G|}{|\operatorname {C} _{G}(x_{j})|}},}$

dove la somma dell'indice ${\displaystyle j}$ è su un elemento rappresentativo di ciascuna classe di coniugio che non è il centro.

La conoscenza dei divisori dell'ordine di gruppo ${\displaystyle |G|}$ viene spesso utilizzata per ottenere informazioni sull'ordine del centro (${\displaystyle |\operatorname {Z} (G)|}$) o delle classi di coniugio (${\displaystyle |O(x)|}$).

Consideriamo il gruppo simmetrico ${\displaystyle S_{3}}$ non abeliano. In notazione ciclica il gruppo ha i seguenti elementi:

${\displaystyle S_{3}=\{(1)(2)(3),(1\ 2\ 3),(1\ 3\ 2),(1\ 2)(3),(1\ 3)(2),(2\ 3)(1)\}}$

che sappiamo avere centro banale ${\displaystyle \operatorname {Z} (S_{3})=\{(1)(2)(3))\}=\{\mathrm {id} \}}$ e quindi il centro ${\displaystyle \operatorname {Z} (G)}$ forma una sola classe di coniugio ${\displaystyle \operatorname {Co} (\mathrm {id} )=\{\mathrm {id} \}}$ e il corrispondente centralizzante ${\displaystyle \operatorname {C} _{G}(\mathrm {id} )=S_{3}\trianglelefteq S_{3}}$ per cui

${\displaystyle |{\operatorname {Z} (S_{3})}|={\frac {|S_{3}|}{|\operatorname {C} _{S_{3}}(\mathrm {id} )|}}={\frac {6}{6}}=1.}$

Fatta questa premessa determiniamo il numero delle classi di coniugio ${\displaystyle \operatorname {Co} (x_{i})}$ e i centralizzatori ${\displaystyle \operatorname {C} _{S_{3}}(x_{i})}$, dove ${\displaystyle x_{i}\quad (i=1,\ldots n_{O})}$ è il rappresentante della ${\displaystyle i}$-esima classe di coniugio. Innanzitutto osserviamo che ${\displaystyle n_{O}}$ è uguale al numero di partizioni di ${\displaystyle n=3,}$ ossia alla decomposizione di ${\displaystyle n}$ nella somma d'interi positivi. Essendo ${\displaystyle 1\leq 2\leq 3=n}$, occorre trovare gli ${\displaystyle i_{j}:\sum _{j=1}^{r}i_{j}=3,\quad i\in \{1,2,3\}}$ e cioè i seguenti casi:

${\displaystyle 1+1+1=3;}$

${\displaystyle 1+2=3;}$

${\displaystyle 3=3.}$

Quindi le classi sono 3, cioè ${\displaystyle n_{O}=3}$ ed equivale ai 3 tipi di cicli possibili che si hanno in ${\displaystyle S_{3}}$: ${\displaystyle [1^{3}],[1^{1}\ 2^{1}],[3^{1}]}$. L'insieme degli elementi rappresentativi sia ${\displaystyle \{x_{1},x_{2},x_{3}\}=\{C_{3},\sigma ^{'},{C_{3}}^{3}\}}$.

Consideriamo i 2-cicli e vogliamo trovare quanti elementi commutano con esso. Essendo ${\displaystyle x\cdot e=e\cdot x}$, allora l'elemento con tutti i punti fissi (l'identità o neutro) commuta, inoltre ${\displaystyle x\cdot x=e}$ cioè lo stesso ${\displaystyle x}$ commuta. Non commuta con un 3-ciclo in quanto ${\displaystyle S_{3}}$ non è abeliano. Quindi il tipo ${\displaystyle [1^{1}\ 2^{1}]}$ ha come generico sottogruppo centralizzante:

${\displaystyle \operatorname {C} _{S_{3}}(x)=\{(1)(2)(3),x\},\quad x=(1\ 2),(2\ 3),(1\ 3),}$ cioè ${\displaystyle |\operatorname {C} _{S_{3}}(x)|=2}$

e sono i tre sottogruppi delle riflessioni di ordine 2: ${\displaystyle T_{2}^{'},T_{2}^{''},T_{2}^{'''}.}$

Consideriamo i 3-cicli e notiamo che essi formano il sottogruppo abeliano normale ${\displaystyle A_{3}}$, cioè quello alterno per cui per il tipo ${\displaystyle [3^{1}]}$ si ottiene

${\displaystyle \operatorname {C} _{S_{3}}(x)=A_{3}=\{(1)(2)(3),(1\ 2\ 3),(1\ 3\ 2)\}}$ cioè ${\displaystyle |\operatorname {C} _{S_{3}}(x)|=3}$

e quindi sono due sottogruppi, uno per ogni 3-ciclo, coincidenti con ${\displaystyle A_{3}.}$

Infine per l'elemento neutro si ha

${\displaystyle \operatorname {C} _{S_{3}}(\mathrm {id} )=S_{3},}$ cioè ${\displaystyle |\operatorname {C} _{S_{3}}(\mathrm {id} )|=6,}$

cioè coincide con il sottogruppo banale. Da notare che l'altro sottogruppo banale con solo l'unità non è centralizzante.

Si può procedere utilizzando la tabella di Cayley di ${\displaystyle S_{3}}$ oppure col seguente metodo più semplice. Per i 2-cicli osserviamo che fissato, ad esempio, ${\displaystyle x=(1\ 2)(3)}$ come rappresentante della classe si ha:

${\displaystyle (1\ 3)=(2\ 3)(1\ 2){(2\ 3)}^{-1},\quad (2\ 3)=(1\ 3)(1\ 2){(1\ 3)}^{-1},}$ dove sono stati omessi i punti fissi dei cicli per semplicità.

che ci permette di ottenere le tre classi di coniugio coincidenti:

${\displaystyle \operatorname {Co} (1\ 2)=\operatorname {Co} (1\ 3)=\operatorname {Co} (2\ 3)=\{(1\ 2),(1\ 3),(2\ 3)\},}$ cioè ${\displaystyle |\operatorname {Co} (x)|=3.}$

Per i 3-cicli allora, necessariamente, perché le classi di coniugio formano una partizione (con ${\displaystyle x=(1\ 2\ 3)}$ come rappresentante della classe)

${\displaystyle \operatorname {Co} (\,(1\ 2\ 3)\,)=\operatorname {Co} (\,(1\ 3\ 2)\,)=\{(1\ 2\ 3),(1\ 3\ 2)\},}$ cioè ${\displaystyle |\operatorname {Co} (\,(1\ 2\ 3)\,)|=2.}$

Da quanto visto è facile verificare l'equazione delle classi di coniugio

${\displaystyle |S_{3}|=6=|\operatorname {Z} (S_{3})|+Co(\,(1\ 2)(3)\,)+|\operatorname {Co} (\,(1\ 2\ 3)\,)|=|\operatorname {Z} (S_{3})|+{\frac {|S_{3}|}{|\operatorname {C} _{S_{3}}((3)(1\ 2))|}}+{\frac {|S_{3}|}{|\operatorname {C} _{S_{3}}((1\ 2\ 3))|}}=1+3+2.}$

Riassumendo e tenendo conto dell'esempio sulle classi laterali di ${\displaystyle S_{3}}$:

Classi di coniugio e centralizzanti di ${\displaystyle G=S_{3}}$

${\displaystyle x}$	${\displaystyle {Co}_{G}(x)\subseteq G}$	${\displaystyle H\leq G}$	${\displaystyle G/\sim _{\cdot H}}$	${\displaystyle {Co}(H)}$	${\displaystyle |{Co}_{G}(x)|=[G:H]}$
${\displaystyle \sigma ^{'}}$	${\displaystyle Co(\sigma ^{'})=\{\sigma ^{'},\sigma ^{''},\sigma ^{'''}\}}$	${\displaystyle T_{2}^{'}}$	${\displaystyle T_{2}^{'},\{C_{3},\sigma ^{''}\},\{C_{3}^{2},\sigma ^{'''}\}}$	${\displaystyle \{T_{2}^{'},T_{2}^{''},T_{2}^{'''}\}}$	3
	${\displaystyle Co(\sigma ^{''})=\{\sigma ^{'},\sigma ^{''},\sigma ^{'''}\}}$	${\displaystyle T_{2}^{''}}$	${\displaystyle T_{2}^{''},\{C_{3}^{2},\sigma ^{'}\},\{C_{3},\sigma ^{'''}\}}$
	${\displaystyle Co(\sigma ^{'''})=\{\sigma ^{'},\sigma ^{''},\sigma ^{'''}\}}$	${\displaystyle T_{2}^{'''}}$	${\displaystyle T_{2}^{'''},\{C_{3}^{2},\sigma ^{''}\},\{C_{3},\sigma ^{'}\}}$
${\displaystyle C_{3}}$	${\displaystyle Co(C_{3})=Co(C_{3}^{2})=\{C_{3},C_{3}^{2}\}}$	${\displaystyle A_{3}\vartriangleleft S_{3}}$	${\displaystyle A_{3},\{\sigma ^{'},\sigma ^{''},\sigma ^{'''}\}}$	${\displaystyle \{A_{3}\}}$	2
${\displaystyle \mathrm {id} =C_{3}^{3}}$	${\displaystyle \operatorname {Z} (S_{3})=\{C_{3}^{3}\}}$	${\displaystyle S_{3}\trianglelefteq S_{3}}$	${\displaystyle S_{3}}$	${\displaystyle \{S_{3}\}}$	1

dove ${\displaystyle x}$ è il rappresentante della classe di coniugio, ${\displaystyle H}$ è il sottogruppo ${\displaystyle {C}_{G}(x)\leq G}$ e ${\displaystyle \operatorname {Co} (H)}$ l'insieme dei sottogruppi coniugati di ${\displaystyle H.}$ L'ultima colonna evidenzia il teorema orbita-stabilizzatore.

Questo esempio fa uso dell'equazione delle classi di coniugio per dimostrare una proprietà dei ${\displaystyle p}$-gruppi.

Consideriamo un ${\displaystyle p}$-gruppo finito ${\displaystyle G}$ cioè:

${\displaystyle |G|=p^{n},\quad p\in \mathbf {P} ,n\in \mathbb {N} ,}$

dove ${\displaystyle \mathbf {P} }$ è l'insieme dei numeri primi e ${\displaystyle \mathbb {N} }$ quello dei numeri naturali. Vogliamo dimostrare che "ogni ${\displaystyle p}$-gruppo finito ha un centro ${\displaystyle \operatorname {Z} (G)}$ non banale", cioè che non sia formato dal solo elemento neutro del gruppo (${\displaystyle |\operatorname {Z} (G)|\neq 1}$).

Poiché l'ordine di qualsiasi classe di coniugio di ${\displaystyle G}$ deve dividere l'ordine di ${\displaystyle G,}$ ne segue che qualsiasi classe di coniugio ${\displaystyle \operatorname {Co} (x_{j})\nsubseteq \operatorname {Z} (G)}$ ha ordine ${\displaystyle |\operatorname {Co} (x_{j})|=p^{k_{j}},\quad 0<k_{j}<n.}$^{[postille 1]} Mentre si ha pure ${\displaystyle \operatorname {Co} (y_{i})=\{y_{i}\},\ |\operatorname {Co} (y_{i})|=1.}$ Nell'equazione delle classi:

${\displaystyle |G|=\sum _{i}|\operatorname {Co} (y_{i})|+\sum _{j}|\operatorname {Co} (x_{j})|=|{\operatorname {Z} (G)}|+\sum _{j}|\operatorname {Co} (x_{j})|}$

${\displaystyle p}$ divide ${\displaystyle |\operatorname {Co} (x_{j})|}$ e quindi divide anche ${\displaystyle |{\operatorname {Z} (G)}|}$ che dimostra un centro non banale.

Si può studiare l'equazione delle classi di coniugio applicando la serie geometrica in un caso limite:

${\displaystyle |G|=p^{n}=|{\operatorname {Z} (G)}|+\sum _{j}|\operatorname {Co} (x_{j})|=\sum _{i=1}^{n_{Oz}}|\operatorname {Co} (y_{i})|+\sum _{j=1}^{n_{O}}p^{k_{j}}=n_{Oz}+p+p^{2}+\ldots +p^{(n-1)}={\frac {p}{p-1}}(p^{n}-2p^{(n-1)}+1)+\sum _{j=1}^{n-1}p^{j}.}$

Si deduce che ${\displaystyle {\text{mcm}}\left(|{\operatorname {Z} (G)}|,p\right)=\left({\frac {p}{p-1}}(p^{n}-2p^{(n-1)}+1),p\right)=p\neq 1\implies |\operatorname {Z} (G)|>1}$, cioè il centro non è banale. Da notare che in qualsiasi altro caso l'ordine del centro contiene sempre il fattore ${\displaystyle p.}$^{[postille 2]}

Casi particolari

• per ${\displaystyle n=1}$, ${\displaystyle G}$ è un gruppo abeliano e si ha ${\displaystyle {\operatorname {Z} (G)}=G\cong C_{p}}$, cioè isomorfo ad un gruppo ciclico di ordine ${\displaystyle p.}$
• per ${\displaystyle n=2}$, ${\displaystyle G}$ è un gruppo abeliano e si ha ${\displaystyle {\operatorname {Z} (G)}=G\cong C_{p}\times C_{p}}$, cioè isomorfo al prodotto diretto di due gruppi ciclici di ordine ${\displaystyle p.}$ Infatti qualsiasi elemento ${\displaystyle g\in G:g\notin \operatorname {Z} (G)}$ ammette i seguenti due casi:
  1. ${\displaystyle g\in G:|<g>|=p^{2},}$ allora ${\displaystyle G}$ è isomorfo al gruppo ciclico di ordine ${\displaystyle p^{2},}$ quindi abeliano con ${\displaystyle \operatorname {Z} (G)=G}$.
  2. ${\displaystyle g\in G:|<g>|=p,}$ ed essendo ${\displaystyle G}$ un ${\displaystyle p}$-gruppo per quanto dimostrato sopra ${\displaystyle |\operatorname {Z} (G)|>1}$ che implica due casi ${\displaystyle |\operatorname {Z} (G)|=p}$ e ${\displaystyle |\operatorname {Z} (G)|=p^{2}.}$

     • ${\displaystyle |\operatorname {Z} (G)|=p,}$ allora esiste un elemento ${\displaystyle b}$ di ${\displaystyle G}$ che non appartiene al centro di ${\displaystyle G.}$

     Da notare che ${\displaystyle \operatorname {C} _{G}(b)}$ include ${\displaystyle b}$ e il centro che non contiene ${\displaystyle b}$ ma almeno ${\displaystyle p}$ elementi. Quindi l'ordine di ${\displaystyle \operatorname {C} _{G}(b)}$ è strettamente maggiore di ${\displaystyle p,}$ e si ha:

     ${\displaystyle \left|\operatorname {C} _{G}(b)\right|=p^{2}\implies b\in \operatorname {Z} (g)}$ quindi un assurdo. Ne concludiamo che ${\displaystyle G}$ è abeliano e isomorfo al prodotto diretto di due gruppi ciclici ciascuno di ordine ${\displaystyle p}$, come nel caso 1.

     • ${\displaystyle |\operatorname {Z} (G)|=p^{2}=|G|}$ cioè coincide con l'intero gruppo e le classi di coniugazione sono formate da un solo elemento, come nel caso 1.

Postille

• Michael Artin, Algebra, Bollati Boringhieri, 1997, ISBN 88-339-5586-9.
• Israel Nathan Herstein, Algebra, Editori Riuniti, 2003, ISBN 88-359-5479-7.

• Classe laterale
• Gruppo (matematica)
• Teoria dei gruppi

• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file sulla classe di coniugio

• (EN) Opere riguardanti Conjugacy classes, su Open Library, Internet Archive.
• (EN) Eric W. Weisstein, Conjugacy Class, su MathWorld, Wolfram Research.

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Concetti fondamentali di Teoria dei numeri	Primi Numero primo · Teorema dell'infinità dei numeri primi · Crivello di Eratostene · Crivello di Atkin · Test di primalità · Teorema fondamentale dell'aritmetica Divisori Interi coprimi · Identità di Bézout · MCD · mcm · Algoritmo di Euclide · Algoritmo esteso di Euclide · Criteri di divisibilità · Divisore Aritmetica modulare Teorema cinese del resto · Piccolo teorema di Fermat · Teorema di Eulero · Funzione φ di Eulero · Teorema di Wilson · Reciprocità quadratica
Teoria dei gruppi	Gruppi Gruppo (finito · ciclico · abeliano) · Gruppo primario · Gruppo quoziente · Gruppo nilpotente · Gruppo risolubile · Gruppo simmetrico · Gruppo diedrale · Gruppo semplice · Gruppo sporadico · Gruppo mostro · Gruppo di Klein · Gruppo dei quaternioni · Gruppo generale lineare · Gruppo ortogonale · Gruppo unitario · Gruppo unitario speciale · Gruppo residualmente finito · Gruppo spaziale · Gruppo profinito · Out(Fn) · Parola · Prodotto diretto · Prodotto semidiretto · Prodotto intrecciato Teoremi Alternativa di Tits · Teorema di isomorfismo · Teorema di Lagrange · Teorema di Cauchy · Teoremi di Sylow · Teorema di Cayley · Teorema di struttura dei gruppi abeliani finiti · Lemma della farfalla · Lemma del ping-pong · Classificazione dei gruppi semplici finiti Sottoinsiemi Sottogruppo · Sottogruppo normale · Sottogruppo caratteristico · Sottogruppo di Frattini · Sottogruppo di torsione · Classe laterale · Classe di coniugio · Serie di composizione Omomorfismo · Isomorfismo · Automorfismo interno · Automorfismo esterno · Permutazione · Presentazione di un gruppo · Azione di gruppo
Teoria degli anelli	Anello (artiniano · noetheriano · locale) · Caratteristica · Ideale (primo · massimale) · Dominio (a fattorizzazione unica · a ideali principali · euclideo) · Matrice · Anello semplice · Anello degli endomorfismi · Teorema di Artin-Wedderburn · Modulo · Dominio di Dedekind · Estensione di anelli · Teorema della base di Hilbert · Anello di Gorenstein · Base di Gröbner · Prodotto tensoriale · Primo associato
Teoria dei campi	Campo · Polinomio irriducibile · Polinomio ciclotomico · Teorema fondamentale dell'algebra · Campo finito · Automorfismo · Endomorfismo di Frobenius Estensioni Campo di spezzamento · Estensione di campi · Estensione algebrica · Estensione separabile · Chiusura algebrica · Campo di numeri · Estensione normale · Estensione di Galois · Estensione abeliana · Estensione ciclotomica · Teoria di Kummer Teoria di Galois Gruppo di Galois · Teoria di Galois · Teorema fondamentale della teoria di Galois · Teorema di Abel-Ruffini · Costruzioni con riga e compasso
Altre strutture algebriche	Magma · Semigruppo · Corpo · Spazio vettoriale · Algebra su campo · Algebra di Lie · Algebra differenziale · Algebra di Clifford · Gruppo topologico · Gruppo ordinato · Quasi-anello · Algebra di Boole
argomenti	Teoria delle categorie · Algebra lineare · Algebra commutativa · Algebra omologica · Algebra astratta · Algebra computazionale · Algebra differenziale · Algebra universale