Sottogruppo normale

In teoria dei gruppi, il sottogruppo normale (o invariante) è un sottogruppo in cui i laterali sinistro e destro di ogni elemento del gruppo coincidono.

In formule, il sottogruppo ${\displaystyle K\subset G}$ è normale se

${\displaystyle gK=Kg}$

per ogni elemento ${\displaystyle g\in G}$. Il fatto che ${\displaystyle K}$ sia normale per ${\displaystyle G}$ si indica con ${\displaystyle K\triangleleft G}$.

I sottogruppi normali sono importanti perché permettono di definire il gruppo quoziente ${\displaystyle G/K}$.

Esistono numerosi modi equivalenti per definire un sottogruppo normale. Tra questi:

• K è un sottogruppo normale se viene mandato in sé da ogni automorfismo interno:

${\displaystyle \forall g\in G,k\in K\quad gkg^{-1}\in K}$

• K è un sottogruppo normale se è chiuso rispetto all'operazione di coniugio

• Se ${\displaystyle K\triangleleft H\triangleleft G}$, non è detto che ${\displaystyle K\triangleleft G}$. Infatti possono esserci isomorfismi non interni di ${\displaystyle H}$ che sono isomorfismi interni di ${\displaystyle G}$ e che non mandano ${\displaystyle K}$ in sé. Per esempio, nel gruppo alterno ${\displaystyle A_{4}}$ ci sono tre sottogruppi di ordine 2, e ognuno di essi è normale nell'unico sottogruppo (abeliano) di ordine 4, che è a sua volta normale in ${\displaystyle A_{4}}$. Ma i tre sottogruppi di ordine due sono permutati ciclicamente dall'automorfismo interno indotto da ogni elemento di ${\displaystyle A_{4}}$ di ordine 3, e dunque nessuno di essi è normale in ${\displaystyle A_{4}}$.

Se però si aggiunge l'ipotesi che ${\displaystyle K}$ sia caratteristico, in ${\displaystyle H}$, cioè mandato in sé da ogni automorfismo di ${\displaystyle H}$, si ha che effettivamente ${\displaystyle K\triangleleft G}$.

• In un gruppo abeliano, ogni sottogruppo è normale.
• Il nucleo di un omomorfismo h: G → H è un sottogruppo normale di G.
• I sottogruppi {e} e G (il più piccolo ed il più grande fra i sottogruppi di G) sono sempre normali. Se sono gli unici sottogruppi normali, il gruppo si dice semplice.
• Il gruppo delle traslazioni dello spazio euclideo è un sottogruppo normale del gruppo dei movimenti rigidi dello spazio. Ad esempio, in tre dimensioni: se si ruota, poi si trasla, e infine si ruota nell'altro verso, si ottiene una traslazione (che può essere diversa da quella iniziale).
• L'intersezione di una famiglia di sottogruppi normali è normale.
• L'immagine inversa tramite omomorfismo di un sottogruppo normale è normale. Invece l'immagine di un sottogruppo normale tramite un omomorfismo non è necessariamente normale.
• Prodotto di gruppi normali in un prodotto di gruppi è normale.
• Ogni sottogruppo di indice 2 è normale. Più in generale, se l'indice del sottogruppo ${\displaystyle H}$ del gruppo finito ${\displaystyle G}$ è il più piccolo numero primo che divide l'ordine di ${\displaystyle G}$, allora ${\displaystyle H}$ è un sottogruppo normale di ${\displaystyle G}$.

• Michael Reed, Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis, 2ª ed., San Diego, California, Academic press inc., 1980, ISBN 0-12-585050-6.
• Ralph Grimaldi, Discrete and Combinatorial Mathematics, ISBN 0-201-19912-2.
• Gunther Schmidt, 2010. Relational Mathematics. Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-76268-7.
• Antonio Machì, Gruppi: Una introduzione a idee e metodi della Teoria dei Gruppi, Springer, 2010, ISBN 88-470-0622-8.
• J.S. Milne, Group theory (PDF), 2012. URL consultato il 22 febbraio 2013.

• Ideale (matematica)
• Sottogruppo
• Teoria dei gruppi

• Sottogruppo normale, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
• (EN) Eric W. Weisstein, Normal Subgroup, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Normal subgroup, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.

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