Azione di gruppo

In algebra, un'azione di gruppo è una mappa che consente di mettere in relazione gli elementi di un gruppo con quelli di un altro insieme. È così possibile ottenere una corrispondenza tra le proprietà del gruppo e quelle dell'insieme (che può, a seconda dei casi, essere dotato di altre strutture, per esempio strutture algebriche).

Siano G un gruppo ed A un insieme. Si dice azione di gruppo (ovvero G-azione) una funzione:

${\displaystyle G\times A\longrightarrow A}$

${\displaystyle (g,a)\mapsto g\cdot a,}$

dove ${\displaystyle \cdot }$ è definita in modo tale da verificare le due seguenti condizioni:

• ${\displaystyle 1_{G}\cdot a=a\quad \forall a\in A;}$
• ${\displaystyle g\cdot (h\cdot a)=(gh)\cdot a\quad \forall g,h\in G,\ a\in A.}$^[1]

Quest'ultima proprietà non va confusa con quella associativa che è definita solo per elementi di uno stesso insieme, mentre g, h e a appartengono a insiemi diversi.

In letteratura, data una G-azione su un insieme A, si dice anche che il gruppo G agisce su A o che A è un G-insieme.^[2][3]

Data la relazione di equivalenza ${\displaystyle \sim }$ su ${\displaystyle A}$

${\displaystyle x,y\in A,\ x\ \sim \ y\ \ {\rm {se}}\ \exists g\in G\ \ {\rm {t.c.}}\ \ y=g\cdot x}$

le classi di equivalenza così definite si dicono orbite. Le orbite formano una partizione di ${\displaystyle A}$. L'orbita contenente l'elemento ${\displaystyle x}$ è data da

${\displaystyle O(x)=\{g\cdot x\mid g\in G\}.}$

Nel caso di un'azione di coniugio, le orbite prendono il nome di classi di coniugio.

Se il gruppo finito ${\displaystyle G}$ agisce sull'insieme finito ${\displaystyle A}$, per il lemma di Burnside (dovuto a Frobenius) il numero di orbite di tale azione è pari a:

${\displaystyle {\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}|{\mbox{fix}}(g)|}$

dove

${\displaystyle {\mbox{fix}}(g)=\{a\in A:g\cdot a=a\}}$

è l'insieme degli elementi di ${\displaystyle A}$ che sono lasciati fissi dall'elemento ${\displaystyle g}$ di ${\displaystyle G}$.

Nell'analisi dei sistemi dinamici, l'evoluzione di un sistema dinamico viene formalizzata da un omomorfismo di gruppo ${\displaystyle \alpha :G\to {\mbox{aut}}(A)}$ che induce un'azione continua di un gruppo topologico G su un'algebra localmente convessa A. In tal caso le orbite sono le traiettorie compiute dal sistema nello spazio delle fasi.

Dato un punto ${\displaystyle x}$ in ${\displaystyle A}$, si definisce stabilizzatore di ${\displaystyle x}$ il sottogruppo di ${\displaystyle G}$ formato dagli elementi che fissano ${\displaystyle x}$:

${\displaystyle G_{x}=\{g\in G\mid g\cdot x=x\}.}$

Lo stabilizzatore è un sottogruppo di G.

Per un gruppo finito, l'orbita ${\displaystyle O_{x}}$ di un elemento ${\displaystyle x}$ conta tanti elementi quanti l'indice dello stabilizzatore ${\displaystyle G_{x}}$ in ${\displaystyle G}$. Vale allora la seguente formula per il calcolo dell'ordine di ${\displaystyle G}$:

${\displaystyle |G|=|O_{x}|\cdot |G_{x}|.}$

Una biiezione esplicita fra le classi laterali

${\displaystyle M=\{gG_{x}\}_{x\in X,g\in G}}$

e l'orbita ${\displaystyle O(x)}$ è data da:

${\displaystyle O(x)\rightarrow M,}$

${\displaystyle g\cdot x\mapsto gG_{x}.}$

L'azione definita viene detta più propriamente azione a sinistra. Si può definire in maniera analoga un'azione a destra ${\displaystyle A\times G\rightarrow A}$ di ${\displaystyle G}$ su ${\displaystyle A}$, per la quale valgono risultati analoghi a quelli dell'azione a sinistra.^[4]

Un'azione è banale se

${\displaystyle \forall g\in G,\forall x\in A:\,g\cdot x=x.}$

Un'azione è fedele se ogni elemento di ${\displaystyle G}$ sposta almeno un punto di ${\displaystyle A}$:

${\displaystyle \forall g\in G,g\neq e,\,\exists x\in A:\,g\cdot x\neq x.}$

Un'azione è libera se gli stabilizzatori sono tutti banali:

${\displaystyle \forall g\in G,g\neq e,\forall x\in A:\,g\cdot x\neq x.}$

Un'azione è transitiva se esiste un'unica orbita:

${\displaystyle \forall x,y\in A,\,\exists g\in G:\,y=g\cdot x.}$

Un'azione è semplicemente transitiva se:

${\displaystyle \forall x,y\in A,\,\exists !g\in G:\,y=g\cdot x.}$

Un punto fisso è un elemento ${\displaystyle x}$ in ${\displaystyle A}$ che è lasciato invariato da tutti gli elementi di ${\displaystyle G}$, ovvero la sua orbita si riduce al solo elemento ${\displaystyle \{x\}}$:

${\displaystyle g\cdot x=x,\,\forall g\in G.}$

Si hanno analoghe definizioni per le azioni destre. Inoltre, si noti che ogni azione libera è fedele e un'azione è semplicemente transitiva se e solo se è libera e transitiva.

Se ${\displaystyle \cdot }$ è un'azione del gruppo ${\displaystyle G}$ sull'insieme non vuoto ${\displaystyle X}$ allora per ogni ${\displaystyle g\in G}$ la funzione ${\displaystyle \pi _{g}:X\to X:x\mapsto g\cdot x}$ è una permutazione di ${\displaystyle X}$, in effetti l'insieme ${\displaystyle S:=\{\pi _{g}:g\in G\}}$ costituisce un sottogruppo del gruppo simmetrico di ${\displaystyle X}$. In particolare ${\displaystyle S}$ è isomorfo a ${\displaystyle G}$ se e solo se l'azione è fedele.

• Ogni gruppo agisce su se stesso, tramite traslazione:

${\displaystyle G\times G\rightarrow G,}$

${\displaystyle (g,x)\mapsto g\cdot x.}$

• Sia ${\displaystyle V}$ uno spazio vettoriale di dimensione finita ${\displaystyle n}$. Si consideri il gruppo delle funzioni lineari invertibili ${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}(V)}$. Allora

${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}(V)\times V\rightarrow V,}$

${\displaystyle (f,v)\mapsto f\cdot v:=f(v),}$

è un'azione di ${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}(V)}$ su ${\displaystyle V.}$

Supponiamo ora che ${\displaystyle A}$ sia uno spazio topologico. Sia ${\displaystyle X}$ lo spazio delle orbite dotato della topologia quoziente e sia ${\displaystyle p}$ la proiezione naturale

${\displaystyle p:A\to X\,\!.}$

Per definizione di topologia quoziente la mappa ${\displaystyle p}$ è una funzione continua.

Un caso molto studiato in topologia è quello in cui la mappa ${\displaystyle p}$ è un rivestimento. Affinché questo accada, sono necessarie alcune ipotesi sull'azione.

L'azione è detta propriamente discontinua se per ogni coppia di sottoinsiemi compatti ${\displaystyle H}$ e ${\displaystyle K}$ di ${\displaystyle A}$ l'intersezione

${\displaystyle gH\cap K\,\!}$

è non vuota solo per un numero finito di elementi ${\displaystyle g}$ del gruppo ${\displaystyle G}$.

Se ${\displaystyle A}$ è uno spazio di Hausdorff localmente compatto, le condizioni seguenti sono equivalenti.

• ${\displaystyle G}$ agisce in modo libero e propriamente discontinuo.
• ${\displaystyle X}$ è di Hausdorff e ogni ${\displaystyle x}$ in ${\displaystyle A}$ ha un intorno aperto ${\displaystyle U}$ tale che

${\displaystyle gU\cap U=\emptyset }$

per ogni ${\displaystyle g}$ in ${\displaystyle G}$.

• ${\displaystyle X}$ è di Hausdorff e la proiezione ${\displaystyle p:A\to X}$ è un rivestimento.

Il gruppo ${\displaystyle {\mathbb {Z} }_{2}\equiv {\mathbb {Z} }/{2\mathbb {Z} }=\{0,1\}}$ agisce sulla sfera ${\displaystyle S^{n}}$: si associa all'elemento "1" la mappa antipodale. L'azione è libera e propriamente discontinua. Lo spazio quoziente è lo spazio proiettivo reale ${\displaystyle \mathbb {R} \mathbb {P} ^{n}}$.

• Siegfried Bosch, Algebra, Springer, 2003, ISBN 978-88-470-0221-0.
• Czes Kosniowski, Introduzione alla Topologia Algebrica, Zanichelli, 1988, ISBN 978-88-08-06440-0.
• Marco Manetti, Topologia, Springer, 2008, ISBN 978-88-470-0756-7.
• Edoardo Sernesi, Geometria 2, Torino, Bollati Boringhieri, 1994, ISBN 978-88-339-5548-3.

• Azione di coniugio

• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file sull'azione di gruppo

• (EN) Opere riguardanti Group actions (Mathematics), su Open Library, Internet Archive.
• (EN) Eric W. Weisstein, Group Action, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Group action, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.

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