Gruppo ciclico

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In matematica, più precisamente nella teoria dei gruppi, un gruppo ciclico è un gruppo che può essere generato da un unico elemento^[1].

Un tale gruppo è isomorfo al gruppo ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ delle classi di resto modulo ${\displaystyle n}$, oppure al gruppo ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ dei numeri interi. Quindi i gruppi ciclici sono fra i più semplici, e sono completamente classificati.

Un gruppo ${\displaystyle G}$ è ciclico se esiste un elemento ${\displaystyle g}$ del gruppo (detto generatore) tale che ${\displaystyle G}$ è l'insieme delle potenze di ${\displaystyle g}$ ad esponente intero, in simboli

${\displaystyle G=\{g^{n}:n\in \mathbb {Z} \}.}$

Stiamo qui usando la notazione moltiplicativa. Quando si usa la notazione additiva, invece che di potenze si parla di multipli, dunque in simboli

${\displaystyle G=\{ng:n\in \mathbb {Z} \}.}$

Ad esempio, se

${\displaystyle G=\{e,g^{1},g^{2},g^{3},g^{4},g^{5}\},}$

allora ${\displaystyle G}$ è ciclico.

In altre parole, ${\displaystyle G}$ coincide con il sottogruppo ${\displaystyle \left\langle g\right\rangle }$ generato da ${\displaystyle g}$. Si usa quindi scrivere ${\displaystyle G=\left\langle g\right\rangle }$ oppure ${\displaystyle G=[g]}$.

L'esempio seguente, fornito dalla aritmetica modulare, è fondamentale.

Poiché ${\displaystyle n\mathbb {Z} }$ è un sottogruppo normale di ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ di indice ${\displaystyle n}$, il gruppo quoziente ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ è un gruppo commutativo finito con ${\displaystyle n}$ elementi, che possiamo scrivere ${\displaystyle \{0,1,2,\dots ,n-1\}}$. La somma fra due elementi ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ è il resto della divisione di ${\displaystyle a+b}$ per ${\displaystyle n}$. Poiché ogni elemento si scrive come ${\displaystyle n=1+\dots +1}$ (sommato ${\displaystyle n}$ volte), il numero ${\displaystyle 1}$ è generatore del gruppo. Quindi ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ è un gruppo ciclico.

Quando non si crea confusione con i numeri p-adici, si usa la notazione più stringata ${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}}$ invece di ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$.

• I numeri interi ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ sono un gruppo ciclico di ordine infinito.
• Le rotazioni del piano cartesiano che sono simmetrie di un poligono regolare con ${\displaystyle n}$ lati centrato nell'origine formano un gruppo ciclico di ordine ${\displaystyle n}$.
• Le radici n-esime dell'unità nel piano complesso formano un gruppo ciclico di ordine ${\displaystyle n}$ tramite moltiplicazione.
• Il gruppo di Galois di ogni estensione finita di un campo finito è finito e ciclico.
• Dato un gruppo ${\displaystyle G}$ ed un elemento ${\displaystyle g}$ di ${\displaystyle G}$, il sottogruppo ${\displaystyle \langle g\rangle }$ generato da ${\displaystyle g}$ è un gruppo ciclico.

Un gruppo ciclico è abeliano^[1].

Un gruppo ciclico ${\displaystyle G}$ con ${\displaystyle n}$ elementi è isomorfo al gruppo ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ delle classi di resto modulo ${\displaystyle n}$ se ${\displaystyle n}$ è finito, ed isomorfo al gruppo ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ dei numeri interi se ${\displaystyle n}$ è infinito.

L'isomorfismo può essere costruito nel modo seguente. La funzione ${\displaystyle \mathbb {Z} \to G}$ che manda l'intero ${\displaystyle i}$ nella potenza ${\displaystyle g^{i}}$ del generatore ${\displaystyle g}$ di ${\displaystyle G}$ è un omomorfismo di gruppi suriettivo. Se ${\displaystyle G}$ è infinito, la funzione è anche iniettiva, dunque un isomorfismo. Se invece ${\displaystyle G}$ è finito, di ordine ${\displaystyle n}$, il nucleo della funzione è ${\displaystyle n\mathbb {Z} }$ ed il primo teorema d'isomorfismo fornisce un isomorfismo ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} \to G}$.

Per quanto scritto sopra, un gruppo ciclico è identificato, a meno di isomorfismo, dal suo ordine ${\displaystyle n}$.

Sia ${\displaystyle G}$ un gruppo ciclico finito, con generatore ${\displaystyle a}$. In questo caso, l'ordine è il minimo intero positivo ${\displaystyle n}$ tale che ${\displaystyle a^{n}=e}$. Più in generale, ${\displaystyle a^{m}=e}$ se e solo se ${\displaystyle m}$ è un multiplo di ${\displaystyle n}$.

Per ogni altro elemento ${\displaystyle b}$ del gruppo, vale comunque la relazione ${\displaystyle b^{n}=e}$.

L'elemento ${\displaystyle m}$ è generatore di ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ se e solo se ${\displaystyle m}$ è coprimo con ${\displaystyle n}$. Quindi ci sono ${\displaystyle \varphi (n)}$ generatori distinti in un gruppo ciclico con ${\displaystyle n}$ elementi, dove ${\displaystyle \varphi }$ è la funzione φ di Eulero.

Ogni sottogruppo ed ogni gruppo quoziente di un gruppo ciclico è ciclico.

Se ${\displaystyle G}$ è ciclico di ordine ${\displaystyle n}$ ed ${\displaystyle m}$ divide ${\displaystyle n}$ allora esiste un solo sottogruppo ciclico di ordine ${\displaystyle m}$.

Il prodotto diretto di due gruppi ciclici di ordine ${\displaystyle p}$ e ${\displaystyle q}$ ha ordine ${\displaystyle pq}$ ed è ciclico se e solo se ${\displaystyle p}$ e ${\displaystyle q}$ sono coprimi.

D'altra parte, il teorema fondamentale per i gruppi abeliani finitamente generati asserisce che ogni gruppo abeliano finitamente generato è prodotto di gruppi ciclici.

Se ${\displaystyle p}$ è un numero primo, ogni gruppo ${\displaystyle G}$ con ${\displaystyle p}$ elementi è isomorfo a ${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$. In altre parole, ogni gruppo con ${\displaystyle p}$ elementi è isomorfo ad un gruppo ciclico.

Un tale gruppo possiede solo i due sottogruppi banali ${\displaystyle \{e\}}$ e ${\displaystyle G}$ stesso.

Il sottogruppo ${\displaystyle n\mathbb {Z} }$ è anche un ideale nell'anello commutativo ${\displaystyle \mathbb {Z} }$, e quindi ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ eredita anche una struttura di anello commutativo. In altre parole, si può fare il prodotto fra due numeri: il prodotto fra ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ è il resto della divisione di ${\displaystyle ab}$ per ${\displaystyle n}$.

Se ${\displaystyle n}$ è primo, l'anello ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ è in verità un campo. Se ${\displaystyle n}$ non è primo, abbiamo ${\displaystyle n=ab}$ per qualche ${\displaystyle a,b<n}$. Questa relazione nel gruppo diventa ${\displaystyle ab=0}$: quindi l'anello non è un dominio di integrità, e quindi a maggior ragione non può essere un campo.

Le unità dell'anello ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ sono i numeri primi con ${\displaystyle n}$, ovvero i generatori del gruppo. Formano un gruppo con la moltiplicazione, di ${\displaystyle \varphi (n)}$ elementi (vedi sopra), indicato generalmente come ${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}^{*}}$.

Ad esempio, i gruppi ${\displaystyle \mathbb {Z} _{6}^{*}=\{1,5\}}$ e ${\displaystyle \mathbb {Z} _{8}^{*}=\{1,3,5,7\}}$ sono isomorfi rispettivamente a ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ e ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$.

In generale, ${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}^{*}}$ è ciclico se e solo se ${\displaystyle n}$ è ${\displaystyle 2}$, ${\displaystyle 4}$, ${\displaystyle p^{k}}$ o ${\displaystyle 2p^{k}}$ dove ${\displaystyle p}$ è un primo dispari e ${\displaystyle k\geq 1}$.

In particolare, il gruppo ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}^{*}}$ è ciclico con ${\displaystyle p-1}$ elementi per ogni primo ${\displaystyle p}$. Più in generale, ogni sottogruppo finito del gruppo moltiplicativo di un campo è ciclico.

• Serge Lang, Capitolo I §4, in Algebra, 3ª ed., Springer, 2002.

• Gruppo diedrale

• Gruppo ciclico, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
• (EN) Eric W. Weisstein, Cyclic Group, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Cyclic group, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.

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