Gruppo dei quaternioni

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In matematica, e specialmente in teoria dei gruppi, il gruppo dei quaternioni (spesso indicato con ${\displaystyle Q_{8}}$) è il gruppo formato dagli otto elementi {1, -1, i, -i, j, -j, k, -k} caratteristici del corpo dei quaternioni. Essi sono legati dalle relazioni

${\displaystyle i^{2}=j^{2}=k^{2}=-1}$

${\displaystyle ij=k,~ji=-k}$

${\displaystyle ik=-j,~ki=j}$

${\displaystyle jk=i,~kj=-i}$

È ovviamente non abeliano e generato da due elementi distinti presi tra i, j e k; inoltre è il più piccolo gruppo non abeliano in cui tutti i sottogruppi sono normali (un gruppo di questo tipo è detto hamiltoniano), e il più piccolo gruppo non abeliano il cui ordine è la potenza di un primo. È anche il secondo gruppo non abeliano più piccolo (quello col minor numero di elementi è il gruppo simmetrico ${\displaystyle S_{3}}$, con 6 elementi).

Tutti i suoi sottogruppi (diversi dal solo elemento neutro) si intersecano in modo non banale nel sottogruppo {1, -1}, che è anche il centro del gruppo. Questo implica che ${\displaystyle Q_{8}}$ non è né un prodotto diretto né un prodotto semidiretto di gruppi più piccoli.

Il gruppo degli automorfismi di ${\displaystyle Q_{8}}$ è il gruppo simmetrico ${\displaystyle S_{4}}$, mentre quello degli automorfismi interni è il gruppo di Klein.

Il gruppo dei quaternioni può anche essere visto come un sottogruppo di ${\displaystyle \mathrm {GL} _{2}(\mathbb {C} )}$ (cioè della matrici invertibili a valori complessi) tramite l'isomorfismo

${\displaystyle i\mapsto {\begin{pmatrix}i&0\\0&-i\end{pmatrix}},\qquad j\mapsto {\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}},\qquad k\mapsto {\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix}}}$

• Quaternione

• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file sul gruppo dei quaternioni

• (EN) Eric W. Weisstein, Quaternion Group, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Quaternion group, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.

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