Matrice invertibile

In matematica, in particolare in algebra lineare, una matrice quadrata è detta invertibile, o regolare, o non singolare se esiste un'altra matrice tale che il prodotto matriciale tra le due restituisce la matrice identità.

L'insieme delle matrici invertibili di dimensioni ${\displaystyle n\times n}$ è un gruppo moltiplicativo rispetto all'ordinaria operazione di prodotto matriciale; tale struttura algebrica è detta Gruppo generale lineare ed è indicata con il simbolo ${\displaystyle \mathrm {GL} (n)}$.

Una matrice quadrata ${\displaystyle A_{n\times n}}$ è detta invertibile se esiste una matrice ${\displaystyle B_{n\times n}}$ tale che:^[1]

${\displaystyle AB=BA=I_{n}}$

dove ${\displaystyle I_{n}}$ denota la matrice identità ${\displaystyle {n\times n}}$ e la moltiplicazione usata è l'ordinaria moltiplicazione di matrici.

Se è questo il caso, allora la matrice ${\displaystyle B}$ è univocamente determinata da ${\displaystyle A}$ ed è chiamata l'inversa di ${\displaystyle A}$, indicata con ${\displaystyle A^{-1}}$.

Nella definizione, le matrici ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$ hanno valori in un anello con unità.

Una matrice ${\displaystyle A}$ è singolare se ha determinante uguale a zero. Tra le affermazioni elencate sotto, la più importante dice che se ${\displaystyle A}$ ha valori in un campo, come ad esempio quello dei numeri reali o complessi, la matrice è invertibile se e solo se non è singolare.

Sia ${\displaystyle A}$ una matrice quadrata ${\displaystyle {n\times n}}$ con valori in un campo ${\displaystyle \Bbbk }$ (ad esempio, il campo dei numeri reali o complessi).

Le seguenti affermazioni sono equivalenti e caratterizzano una matrice ${\displaystyle A}$ invertibile:

• Esiste una matrice ${\displaystyle B_{n\times n}}$ tale che ${\displaystyle AB=BA=I_{n}}$.
• Il determinante non è nullo: ${\displaystyle \det A\neq 0}$.
• Il rango di ${\displaystyle A}$ è ${\displaystyle n}$.
• La trasposta ${\displaystyle A^{T}}$ è una matrice invertibile.
• L'equazione ${\displaystyle Ax=0}$ (con ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle 0}$ vettori colonna in ${\displaystyle \Bbbk ^{n}}$) ha solamente la soluzione banale ${\displaystyle x=0}$.
• L'equazione ${\displaystyle Ax=b}$ ha esattamente una soluzione per ogni ${\displaystyle b}$ in ${\displaystyle \Bbbk ^{n}}$.
• Le colonne di ${\displaystyle A}$ sono linearmente indipendenti.
• Le righe di ${\displaystyle A}$ sono linearmente indipendenti.
• Le colonne di ${\displaystyle A}$ generano ${\displaystyle \Bbbk ^{n}}$.
• Le colonne di ${\displaystyle A}$ formano una base di ${\displaystyle \Bbbk ^{n}}$.
• L'applicazione lineare ${\displaystyle L_{A}}$ da ${\displaystyle \Bbbk ^{n}}$ in ${\displaystyle \Bbbk ^{n}}$ data da: ${\displaystyle L_{A}:x\mapsto Ax}$ è biiettiva.
• Il numero 0 non è un autovalore di ${\displaystyle A}$.
• ${\displaystyle A}$ è trasformabile nella matrice identità ${\displaystyle I_{n}}$ tramite l'algoritmo di Gauss-Jordan.
• ${\displaystyle A}$ è trasformabile mediante algoritmo di Gauss-Jordan in una matrice a scalini con ${\displaystyle n}$ pivot.

• L'inversa di una matrice invertibile ${\displaystyle A}$ è essa stessa invertibile, e si ha:^[2]

${\displaystyle (A^{-1})^{-1}=A\ }$

• Il prodotto di due matrici invertibili ${\displaystyle A_{n\times n}}$ e ${\displaystyle B_{n\times n}}$ è ancora invertibile, con inversa data da:

${\displaystyle (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\ }$

Come conseguenza delle proprietà precedenti, l'insieme delle matrici invertibili ${\displaystyle n\times n}$ costituisce un gruppo con la moltiplicazione, noto come il gruppo generale lineare ${\displaystyle \mathrm {GL} (n)}$.

Poiché le matrici invertibili formano un gruppo, possono in molti casi essere manipolate come se fossero dei numeri reali. Ad esempio:

• Se ${\displaystyle A}$ è invertibile, l'equazione ${\displaystyle AX=B}$ ha una sola soluzione, data da ${\displaystyle X=A^{-1}B}$. Analogamente ${\displaystyle XA=B}$ ha come unica soluzione ${\displaystyle X=BA^{-1}}$.

Sul campo dei numeri reali l'insieme di tutte le matrici ${\displaystyle n\times n}$ è uno spazio vettoriale isomorfo a ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n^{2}}}$, e il sottoinsieme delle matrici non invertibili è un insieme nullo, cioè ha misura di Lebesgue zero, essendo l'insieme degli zeri della funzione determinante, che è un polinomio. Intuitivamente, questo vuol dire che la probabilità che una matrice quadrata casuale a valori reali sia non-invertibile è zero. Parlando in modo approssimativo, si dice che "quasi tutte" le matrici sono invertibili.

Il teorema della matrice invertibile generalmente non vale in un anello commutativo. In questo caso, la matrice è invertibile se e solo se il suo determinante è una unità, ossia è invertibile, in questo anello.

Se ${\displaystyle A}$ è invertibile, l'equazione ${\displaystyle AX=B}$ ha una sola soluzione, data da ${\displaystyle X=A^{-1}B}$. Analogamente ${\displaystyle XA=B}$ ha come unica soluzione ${\displaystyle X=BA^{-1}}$.

Nel caso particolare in cui ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle B}$ abbiano dimensioni ${\displaystyle {n\times 1}}$, ovvero siano vettori colonna, l'equazione ${\displaystyle AX=B}$ rappresenta un sistema lineare, dove ${\displaystyle A}$ è la matrice dei coefficienti.^[3]

${\displaystyle A}$ è invertibile se il sistema ha una soluzione unica o, in modo equivalente, se il sistema omogeneo associato ha come unica soluzione il vettore nullo.^[4]

Esistono vari metodi per il calcolo dell'inversa di una matrice quadrata invertibile ${\displaystyle A}$.

La matrice inversa di una matrice 2 per 2 invertibile:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}{a}&{b}\\{c}&{d}\end{pmatrix}}}$

è la seguente:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}{\frac {d}{{a}{d}-{b}{c}}}&{\frac {-b}{{a}{d}-{b}{c}}}\\{\frac {-c}{{a}{d}-{b}{c}}}&{\frac {a}{{a}{d}-{b}{c}}}\end{pmatrix}}={\frac {1}{{a}{d}-{b}{c}}}{\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}}}$

Si noti come questa formula è ricavabile del metodo dei cofattori sotto spiegato.

Il metodo della matrice dei cofattori risulta particolarmente rapido quando non interessa calcolare tutti gli elementi della matrice inversa, e quando la matrice è di dimensione contenuta. Inoltre, la presenza di variabili letterali tra gli elementi non aumenta di molto la complessità del calcolo.

Data una matrice ${\displaystyle A}$ quadrata e invertibile:

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}\;[A]_{1,1}&\ldots &[A]_{1,n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\\;[A]_{n,1}&\ldots &[A]_{n,n}\\\end{pmatrix}}}$

la sua inversa ${\displaystyle A^{-1}}$ è la seguente:

${\displaystyle A^{-1}={\frac {1}{\det(A)}}\cdot (\mathrm {cof} \;A)^{T}}$

dove ${\displaystyle \det(A)}$ è il determinante di ${\displaystyle A}$, la matrice ${\displaystyle \mathrm {cof} A}$ è la matrice dei cofattori (o dei complementi algebrici) e l'esponente ${\displaystyle T}$ indica l'operazione di trasposizione di matrici.

Uno schema mnemonico per la variazione del segno ${\displaystyle (-1)^{i+j}}$ è il seguente:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}+&-&+&\ldots \\-&+&-&\ldots \\+&-&+&\ldots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{pmatrix}}}$

Si consideri la matrice ${\displaystyle A}$ e la sua inversa ${\displaystyle A^{-1}}$. La formula

${\displaystyle A^{-1}={\frac {1}{\det(A)}}\cdot (\mathrm {cof} \;A)^{T}}$

equivale a

${\displaystyle A(\mathrm {cof} \;A)^{T}=I(\det A),}$

dove ${\displaystyle I}$ è la matrice identità. Quindi, se ${\displaystyle A_{ih}}$ indica l'elemento della matrice ${\displaystyle A}$ nella riga ${\displaystyle i}$ e colonna ${\displaystyle h}$ e ${\displaystyle A_{(j,h)}}$ indica il minore di ${\displaystyle A}$ ottenuto cancellando la riga ${\displaystyle j}$ e la colonna ${\displaystyle h,}$ si ha

${\displaystyle \sum _{h=1}^{n}A_{ih}((\mathrm {cof} \;A)^{T})_{hj}=\sum _{h=1}^{n}A_{ih}(\mathrm {cof} \;A)_{jh}=\sum _{h=1}^{n}A_{ih}(-1)^{j+h}\det A_{(j,h)}={\begin{cases}\det A,&{\text{se }}i=j,\\0,&{\text{se }}i\neq j,\end{cases}}}$

dove se ${\displaystyle i\neq j}$ si ha zero poiché la quantità considerata corrisponde al determinante di una matrice ${\displaystyle A'}$ che si ottiene sostituendo in ${\displaystyle A}$ la riga ${\displaystyle j}$-esima con una copia della riga ${\displaystyle i}$-esima. La matrice ${\displaystyle A'}$ ha quindi due righe uguali e dunque il determinante è 0.

L'algoritmo di Gauss-Jordan, può essere usato per trovare (quando esiste) l'inversa di una matrice. Funziona nel modo seguente: sia ${\displaystyle A}$ una matrice invertibile. Si costruisce la matrice ${\displaystyle B=(A|I)}$ con ${\displaystyle n}$ righe e ${\displaystyle 2n}$ colonne affiancando ${\displaystyle A}$ e la matrice identità ${\displaystyle I}$. A questo punto si applica l'algoritmo di Gauss-Jordan alla nuova ${\displaystyle B}$. Questo algoritmo trasforma la matrice ${\displaystyle B}$ in una matrice a scalini, che sarà del tipo ${\displaystyle (I|C)}$. La matrice ${\displaystyle C}$ così trovata è proprio l'inversa di ${\displaystyle A}$. Infatti se si considera la matrice ${\displaystyle (A|e_{i})}$, il sistema associato ha come unica soluzione un vettore ${\displaystyle x_{i}}$ che per definizione di inversa è la ${\displaystyle i}$-esima colonna della matrice inversa di ${\displaystyle A.}$ Con le operazioni elementari la si trasforma nella matrice ${\displaystyle (I|B^{i})}$ la cui soluzione è sempre il vettore ${\displaystyle x_{i}}$ (perché l'insieme delle soluzioni di un sistema lineare rimane invariato usando le operazioni elementari). Questo equivale a dire che ${\displaystyle Ix_{i}}$ è uguale a ${\displaystyle B^{i},}$ ossia ${\displaystyle B^{i}=x_{i}}$. Questo vale per ogni colonna. Quindi, dato che il vettore ${\displaystyle x_{i}}$ è la ${\displaystyle i}$-esima colonna della matrice inversa, allora ${\displaystyle C=A^{-1}.}$

L'esempio seguente mostra che l'inversa di:

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&2\\2&3\end{pmatrix}}}$

è la matrice:

${\displaystyle C={\begin{pmatrix}-3&2\\2&-1\end{pmatrix}}}$

Infatti:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2&\|&1&0\\2&3&\|&0&1\end{pmatrix}}\to {\begin{pmatrix}-2&-4&\|&-2&0\\2&3&\|&0&1\end{pmatrix}}\to {\begin{pmatrix}-2&-4&\|&-2&0\\0&-1&\|&-2&1\end{pmatrix}}\to }$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}-2&-4&\|&-2&0\\0&4&\|&8&-4\end{pmatrix}}\to {\begin{pmatrix}-2&0&\|&6&-4\\0&4&\|&8&-4\end{pmatrix}}\to {\begin{pmatrix}1&0&\|&-3&2\\0&1&\|&2&-1\end{pmatrix}}}$

Nel primo passaggio si è moltiplicata la prima riga per ${\displaystyle -2}$, nel secondo si è sommata alla seconda riga la prima, nel terzo si è moltiplicata la seconda riga per ${\displaystyle -4}$, nel quarto passaggio si è sommata alla prima riga la seconda e infine nell'ultimo passaggio si è divisa la prima riga per ${\displaystyle -2}$ e la seconda per ${\displaystyle 4}$. In questo modo si è partiti da una matrice di ${\displaystyle (A|I)}$ e si è arrivati a ${\displaystyle (I|C)}$. Si ha che ${\displaystyle C}$ è l'inversa di ${\displaystyle A}$.

Data una matrice partizionata a blocchi:

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}\\A_{21}&A_{22}\end{pmatrix}}}$

in cui le sottomatrici sulla diagonale ${\displaystyle (A_{11}}$ e ${\displaystyle A_{22})}$ sono quadrate e non singolari, si può dimostrare che l'inversa di ${\displaystyle A}$ risulta uguale a:

${\displaystyle A^{-1}={\begin{pmatrix}A_{11}^{-1}(I+A_{12}\,B_{22}\,A_{21}A_{11}^{-1})&-A_{11}^{-1}A_{12}\,B_{22}\\-B_{22}A_{21}A_{11}^{-1}&B_{22}\end{pmatrix}}}$

dove ${\displaystyle I}$ è una matrice identità di ordine appropriato e:

${\displaystyle B_{22}=(A_{22}-A_{21}A_{11}^{-1}A_{12})^{-1}}$

ovvero:

${\displaystyle A^{-1}={\begin{pmatrix}B_{11}&-B_{11}A_{12}A_{22}^{-1}\\-A_{22}^{-1}A_{21}B_{11}&A_{22}^{-1}(I+A_{21}B_{11}A_{12}A_{22}^{-1})\end{pmatrix}}}$

con:

${\displaystyle B_{11}=(A_{11}-A_{12}A_{22}^{-1}A_{21})^{-1}}$

• Serge Lang, Algebra lineare, Torino, Bollati Boringhieri, 1992, ISBN 88-339-5035-2.
• (EN) Kenneth Hoffman, Ray Kunze, Linear Algebra, 2ª ed., Englewood Cliffs, New Jersey, Prentice - Hall, inc., 1971, ISBN 0-13-536821-9.
• (EN) Roger A. Horn e Charles R. Johnson, Matrix Analysis, Cambridge University Press, 1985, p. 14, ISBN 978-0-521-38632-6.
• (EN) Gilbert Strang, Introduction to linear algebra, 3rd, SIAM, 2003, p. 71, ISBN 0-9614088-9-8., Chapter 2, page 71
• (EN) Dennis Bernstein, Matrix Mathematics, Princeton University Press, 2005, p. 44, ISBN 0-691-11802-7.

• Cofattore (matematica)
• Gruppo generale lineare
• Matrice dei cofattori
• Matrice quadrata
• Matrice identità
• Matrice involutoria
• Moltiplicazione di matrici
• Sistema di equazioni lineari
• Pseudo-inversa

• matrice invertibile, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
• (EN) Eric W. Weisstein, Matrice invertibile, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Matrice invertibile, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.
• (EN) Matrix Mathematics: Theory, Facts, and Formulas at Google books
• (EN) Equations Solver Online, su solvingequations.net. URL consultato il 24 aprile 2019 (archiviato dall'url originale il 18 marzo 2016).
• (EN) Lecture on Inverse Matrices by Khan Academy, su khanacademy.org (archiviato dall'url originale il 3 novembre 2011).
• (EN) Linear Algebra Lecture on Inverse Matrices by MIT, su ocw.mit.edu.
• (EN) LAPACK is a collection of FORTRAN subroutines for solving dense linear algebra problems
• Programma che calcola l'inversa di una matrice, su evinive.altervista.org. URL consultato il 21 luglio 2021 (archiviato dall'url originale il 22 aprile 2016).
• Programma parallelo in MPI per calcolare l'inversa di una matrice, su parallelknoppix.info. URL consultato il 10 aprile 2011 (archiviato dall'url originale il 13 gennaio 2012).

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