Teorema di Eulero (aritmetica modulare)

In matematica, e in particolare in teoria dei numeri, il teorema di Eulero (detto anche teorema di Fermat-Eulero) afferma che se ${\displaystyle n}$ è un intero positivo ed ${\displaystyle a}$ è coprimo rispetto ad ${\displaystyle n}$, allora:

${\displaystyle a^{\phi (n)}\equiv 1{\bmod {n}}}$

dove ${\displaystyle \phi (n)}$ indica la funzione phi di Eulero e ${\displaystyle \equiv }$ la relazione di congruenza modulo ${\displaystyle n}$.

Questo teorema è una generalizzazione del piccolo teorema di Fermat, ed è ulteriormente generalizzato dal teorema di Carmichael.

Consideriamo l'insieme delle classi di resto (modulo ${\displaystyle n}$) degli interi positivi minori o uguali ad ${\displaystyle n}$ e coprimi con ${\displaystyle n}$:

${\displaystyle S_{1}=\left\{[m_{1}],[m_{2}],\dots ,[m_{\phi (n)}]\right\}}$

Se moltiplichiamo ogni elemento di ${\displaystyle S_{1}}$ per ${\displaystyle a}$ otterremo un secondo insieme,

${\displaystyle S_{2}=\left\{[am_{1}],[am_{2}],\dots ,[am_{\phi (n)}]\right\}}$.

Ogni ${\displaystyle am_{i}}$ è ancora coprimo con ${\displaystyle n}$ perché è prodotto di due elementi coprimi con ${\displaystyle n}$: infatti ogni numero primo ${\displaystyle p}$ che divide ${\displaystyle am_{i}}$ divide o ${\displaystyle a}$ o ${\displaystyle m_{i}}$, e quindi se dividesse anche ${\displaystyle n}$ almeno uno tra ${\displaystyle a}$ ed ${\displaystyle m_{i}}$ non sarebbe coprimo con ${\displaystyle n}$.

Se ora ${\displaystyle i\neq j}$, allora ${\displaystyle am_{i}\not \equiv am_{j}{\bmod {n}}}$, perché altrimenti, moltiplicando per l'inverso ${\displaystyle b}$ di ${\displaystyle a}$ modulo ${\displaystyle n}$ (che esiste perché ${\displaystyle a}$ ed ${\displaystyle n}$ sono coprimi), si avrebbe ${\displaystyle bam_{i}\equiv bam_{j}{\bmod {n}}}$ e quindi ${\displaystyle m_{i}\equiv m_{j}{\bmod {n}}}$. Questi due fatti implicano che ${\displaystyle S_{2}}$ è un sottoinsieme di ${\displaystyle S_{1}}$ e ha la stessa cardinalità di ${\displaystyle S_{1}}$: di conseguenza, ${\displaystyle S_{1}}$ ed ${\displaystyle S_{2}}$ coincidono.

Pertanto il prodotto, di tutti gli elementi di ${\displaystyle S_{1}}$ è congruente al prodotto di tutti gli elementi di ${\displaystyle S_{2}}$:

${\displaystyle m_{1}m_{2}\cdot \dots \cdot m_{\phi (n)}\equiv am_{1}\cdot am_{2}\cdot \dots \cdot am_{\phi (n)}\equiv a^{\phi (n)}m_{1}\cdot m_{2}\cdot \dots \cdot m_{\phi (n)}{\bmod {n}}}$.

Poiché ogni ${\displaystyle m_{i}}$ è primo con ${\displaystyle n}$, possiamo moltiplicare ambo i membri per l'inversa di ${\displaystyle \prod _{i=1}^{\phi (n)}m_{i}}$ modulo ${\displaystyle n}$, ottenendo

${\displaystyle a^{\phi (n)}\equiv 1{\bmod {n}}}$.

Una dimostrazione meno diretta può essere ottenuta attraverso la teoria dei gruppi. L'insieme ${\displaystyle S_{1}}$ delle classi di resto modulo ${\displaystyle n}$, infatti, è un gruppo abeliano sotto l'operazione di moltiplicazione, ed ha ordine ${\displaystyle \phi (n)}$. Un qualsiasi elemento ${\displaystyle a\in S_{1}}$ genera un sottogruppo il cui ordine ${\displaystyle m}$, per il teorema di Lagrange, divide ${\displaystyle \phi (n)}$. Per definizione, ${\displaystyle a^{m}\equiv 1{\bmod {n}}}$, e, se ${\displaystyle \phi (n)=mr}$, allora quindi ${\displaystyle a^{\phi (n)}=(a^{m})^{r}\equiv 1^{r}{\bmod {n}}\equiv 1{\bmod {n}}}$.

La dimostrazione "aritmetica" del teorema di Eulero può essere applicata, più in generale, a tutti i gruppi abeliani finiti, senza invocare il teorema di Lagrange. In questo contesto, il teorema afferma che, se ${\displaystyle a\in G}$ e l'ordine di ${\displaystyle G}$ è ${\displaystyle n}$, allora ${\displaystyle a^{n}=e}$ (dove ${\displaystyle e}$ è l'elemento neutro del gruppo).

Il teorema può essere usato per ridurre facilmente grandi potenze in modulo n. Ad esempio, prendiamo in considerazione la ricerca dell'ultima cifra di ${\displaystyle 7^{222}}$, vale a dire di ${\displaystyle 7^{222}{\bmod {1}}0}$. 7 e 10 sono coprimi, e ${\displaystyle \phi (10)=4}$. Dal teorema di Eulero segue che ${\displaystyle 7^{4}\equiv 1{\bmod {1}}0}$, e quindi ${\displaystyle 7^{222}\equiv 7^{4\cdot 55+2}\equiv (7^{4})^{55}\cdot 7^{2}\equiv 1^{55}\cdot 7^{2}\equiv 49\equiv 9{\bmod {1}}0}$.

In generale, nella riduzione di una potenza di ${\displaystyle a}$ modulo ${\displaystyle n}$, ${\displaystyle a^{x}\equiv a^{y}{\bmod {n}}}$, dove ${\displaystyle y\equiv x{\bmod {\phi }}(n)}$.

• Harold Davenport, Aritmetica superiore, Bologna, Zanichelli, 1994, ISBN 88-08-09154-6.

• Eulero
• Funzione φ di Eulero
• Piccolo teorema di Fermat
• Funzione di Carmichael

• Eulero-Fermat, teorema di, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
• (EN) Eric W. Weisstein, Euler's Totient Theorem, su MathWorld, Wolfram Research.

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