Nacque a Londra da un ufficiale dell'esercito indiano, Wentworth "Jock" Campbell, e da Alicia Gladys Fisher, che in quel periodo era sposata con George Finch. Crebbe prima in India, e si trasferì successivamente con il padre in Australia[1], dove compì un lungo tirocinio artistico che lo portò a recitare alla radio, nel teatro e nel cinema australiano durante gli anni trenta e anni quaranta[2]. Durante una rappresentazione de Il malato immaginario di Molière, fu notato da Laurence Olivier che si trovava all'epoca oltreoceano per una tournée e che invitò Finch a tentare la carriera sulle scene londinesi[1].
Finch raggiunse una certa fama come interprete teatrale a Londra, recitando - fra gli altri - nell'Otello di Shakespeare rappresentato nel 1952 accanto a Orson Welles, nel quale interpretò il ruolo del perfido Iago[1]. Nella prima metà degli anni cinquanta ebbe modo di affermarsi definitivamente anche sugli schermi cinematografici, diventando in breve uno dei più versatili e sensibili interpreti del cinema britannico[3], a suo agio nei ruoli più diversi. Tra le sue interpretazioni del periodo, da ricordare lo sceriffo di Nottingham in Robin Hood e i compagni della foresta (1952), l'elegante ladro Flambeau in Uno strano detective, Padre Brown (1954), accanto ad Alec Guinness, il rude soldato australiano de La mia vita comincia in Malesia (1955), il vagabondo Jim Mcauley in Sul sentiero del sole (1957), personaggio laconico e solitario che vaga per la campagna australiana in cerca di lavoro, in compagnia del figlioletto[3].
Con Quinto potere (1976) di Sidney Lumet, Finch toccò l'apice della carriera con la vigorosa interpretazione di Howard Beale, un conduttore televisivo che giunge ad annunciare in diretta la propria intenzione di suicidarsi, a seguito della minaccia di licenziamento ricevuta dopo il calo dell'indice di gradimento del proprio programma[2]. La performance valse a Finch, che in autunno interpretò Yitzhak Rabin nel colossal bellico I leoni della guerra, una nomination ai Golden Globe 1977.
Nel gennaio 1977 l'attore, sessantenne, si trovava a Los Angeles per promuovere Quinto potere, alloggiando al The Beverly Hills Hotel, sul Sunset Boulevard. Nella serata di giovedì 13 partecipò al The Tonight Show Starring Johnny Carson; la mattina seguente scese nella hall dell'albergo e sedette in attesa del regista Sidney Lumet, con il quale avrebbe avuto un altro impegno televisivo. Proprio all'arrivo del regista venne colto da un infarto fulminante, e scivolò a terra; venne chiamata un'ambulanza, e dopo dei tentativi di rianimazione cardiopolmonare sul posto, rivelatisi inutili, Finch venne portato allo UCLA Medical Center, in terapia intensiva, ma venne presto dichiarato deceduto. Il funerale si tenne mercoledì 19, e il corpo dell'attore venne poi tumulato in un colombario all'Hollywood Forever Cemetery[5][6].
Emilio Cigoli in Robin Hood e i compagni della foresta, Il cargo della violenza, La mia vita comincia in Malesia, La battaglia di Rio della Plata, La grande rapina, Terra di ribellione, Amsterdam operazione diamanti, Amori proibiti, La ragazza dagli occhi verdi, La rinuncia
Giuseppe Rinaldi in Frenesia del piacere, Il volo della fenice, La tenda rossa
Pino Locchi in La pista degli elefanti, Il vendicatore nero
