Teorema di Poincaré-Hopf

Nella matematica, il teorema di Poincaré–Hopf (anche conosciuto come formula dell'indice di Poincaré–Hopf) è un importante teorema utilizzato nella topologia differenziale. Il suo nome deriva da Henri Poincaré e Heinz Hopf.

Un caso speciale della formula è il teorema della palla pelosa, che semplicemente afferma che non esiste un campo vettoriale non nullo continuo tangente a una sfera.

Sia ${\displaystyle M}$ una varietà differenziabile di dimensione ${\displaystyle n}$, e ${\displaystyle v}$ un campo vettoriale su ${\displaystyle M}$. Si supponga che ${\displaystyle x}$ sia un punto critico isolato di ${\displaystyle v}$, e si fissino delle coordinate locali vicino a ${\displaystyle x}$. Sia D una palla chiusa centrata in ${\displaystyle x}$, tale che ${\displaystyle x}$ sia l'unico zero di ${\displaystyle v}$ in ${\displaystyle D}$. Successivamente si definisce l'indice di ${\displaystyle v}$ in ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle \operatorname {index} _{x}(v)}$, come il grado topologico della mappa ${\displaystyle u:\partial D\rightarrow S^{n-1}}$ dalla frontiera di ${\displaystyle D}$ alla (n-1)-sfera e data da ${\displaystyle u(z)=v(z)/|v(z)|}$.

Teorema. Sia ${\displaystyle M}$ una varietà differenziabile compatta. Sia ${\displaystyle v}$ un campo vettoriale su ${\displaystyle M}$ con zeri isolati. Se ${\displaystyle M}$ ha la frontiera, ${\displaystyle v}$ deve essere diretto normalmente e uscente rispetto alla frontiera. Allora vale la seguente formula

${\displaystyle \sum _{i}\operatorname {index} _{x_{i}}(v)=\chi (M)\,}$

dove la somma degli indici è su tutti gli zeri isolati di ${\displaystyle v}$ e ${\displaystyle \chi (M)}$ è la caratteristica di Eulero di ${\displaystyle M}$. Un corollario particolarmente utile è che un campo vettoriale che non si annulla mai implica che la caratteristica di Eulero è 0.

Questo teorema fu dimostrato in due dimensioni da Henri Poincaré e successivamente generalizzato da Heinz Hopf.

La caratteristica di Eulero di una superficie chiusa è un concetto puramente topologico, mentre l'indice di un campo vettoriale è puramente analitico. Perciò, questo teorema stabilisce un profondo collegamento tra due aree della matematica apparentemente non correlate. È particolarmente interessante che la dimostrazione del teorema si basa fortemente sull'integrale, e in particolare sul teorema di Stokes, il quale afferma che l'integrale della derivata esterna di una forma differenziale è uguale all'integrale sulla frontiera di tale forma. Nel caso speciale di una varietà senza frontiera, è equivalente ad affermare che l'integrale è 0. Ma esaminando i campi vettoriali in un intorno sufficientemente piccolo di una "sorgente" o di un "pozzo", si nota che essi contribuiscono al totale con quantità intere (gli indici), e la loro somma totale deve essere zero. Questo risultato può essere considerato come uno dei primi di una lunga serie di teoremi che stabiliscono un legame profondo tra concetti geometrici e analitici o fisici, giocando un ruolo importante nello studio moderno di entrambi i campi.

1. Si immerge ${\displaystyle M}$ in un qualche spazio euclideo di dimensione sufficiente (Usando il teorema di immersione di Whitney.)

2. Si prende un piccolo intorno di ${\displaystyle M}$ nello spazio euclideo, ${\displaystyle N_{\epsilon }}$. Si estende il campo vettoriale a questo intorno in modo che abbia gli stessi zeri e stessi indici. Inoltre, ci si assicura che il campo vettoriale sulla frontiera di ${\displaystyle N_{\epsilon }}$ sia diretto verso l'esterno.

3. La somma degli indici del vecchio (e nuovo) campo vettoriale è uguale al grado della mappa di Gauss dalla frontiera di ${\displaystyle N_{\epsilon }}$ alla (n-1)-sfera. Quindi, la somma degli indici è indipendente dal reale campo vettoriale, e dipende solo dalla varietà ${\displaystyle M}$. Tecnica: tagliare via tutti i punti critici del campo insieme a degli intorni piccoli. Quindi si utilizza il fatto che il grado di una mappa dalla frontiera di una varietà ${\displaystyle n}$-dimensionale a una (n-1)-sfera, che può essere estesa all'intera varietà ${\displaystyle n}$-dimensionale, è zero.

4. Infine, si riconosce che la somma degli indici è la caratteristica di Eulero. Per farlo, si costruisce uno specifico campo vettoriale su ${\displaystyle M}$ usando una triangolazione di ${\displaystyle M}$ grazie al quale è chiaro che la somma degli indici degli zeri è uguale alla caratteristica di Eulero della varietà.

È possibile definire l'indice di un campo vettoriale anche per zeri non isolati. Una costruzione di tale indice e una generalizzazione del teorema di Poincaré–Hopf sono delineate nella Sezione 1.1.2 di (Brasselet, Seade & Suwa 2009).

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Poincaré–Hopf theorem", Encyclopaedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
• Jean-Paul Brasselet, José Seade e Tatsuo Suwa, Vector fields on singular varieties, Heidelberg, Springer, 2009, ISBN 978-3-642-05205-7.

• Teorema della palla pelosa
• Caratteristica di Eulero
• Teorema di Stokes
• Fibrazione di Hopf

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