Hodge's home at 1 Church Hill Place, Edinburgh サー・ウィリアム・ヴァーランス・ダグラス・ホッジ FRS FRSE [ 2] Sir William Vallance Douglas Hodge 、1903年 6月17日 - 1975年 7月7日 ）はイギリス の数学者、特に幾何学者である[ 3] [ 4]
代数幾何学 と微分幾何学 の間の広範囲にわたる位相幾何学 的関係（現在ホッジ理論 と呼ばれ、より一般にケーラー多様体 に関連する）に対するホッジの発見は、幾何学におけるその後の発展に大きな影響を及ぼした。
ホッジは1903年にエディンバラ に、公記録の検査官であるアーチバルド・ジェームズ・ホッジ(Archibald James Hodge)とその妻ジェーン・ヴァランス(Jane Vallance)との息子として生まれた[ 5] [ 6]
ホッジはジョージ・ワトソン大学 （英語版 ） エディンバラ大学 で学び、1923年に修士号を得た。E. T. ホイッテーカー (その息子のJ. M. ホイッテーカー （英語版 ） ケンブリッジ数学優等卒業試験 （英語版 ） H.F. ベイカー （英語版 ）
1926年ホッジはブリストル大学 にて教員の地位につき、代数幾何学のイタリア学派 （英語版 ） フランチェスコ・セヴェリ （英語版 ） ソロモン・レフシェッツ の位相幾何学的手法の間の境界領域について研究を始めた。アティヤの回想によれば、1931年レフシェッツとホッジはケンブリッジのマックス・ニューマンの部屋で会議をし、問題を解決しようとしていた。最後にはレフシェッツは納得した[ 2] エディンバラ王立協会 のフェローに選出された。推薦人はエドマンド・テイラー・ホイッテーカー 卿とラルフ・サムプソン 、チャールズ・バークラ 、チャールズ・ゴールトン・ダーウィン だった。ホッジは1964年から1968年の期間、Gunning Victoria Jubilee賞を授与された[ 5]
1930年ホッジはケンブリッジのセントジョンズカレッジ にて研究奨学金を授与された。レフシェッツがいたプリンストン大学 で1931年から1932年までの1年間を過ごし、ジョンズ・ホプキンズ大学 でオスカー・ザリスキ も訪問した。この時、ホッジはド・ラームの定理 を理解し、ホッジスター作用 を定義した。それにより、ホッジは調和形式 を定義し、そしてド・ラーム理論を洗練することができた。
ケンブリッジに帰ると、1933年大学講師の地位を与えられた。ホッジはケンブリッジで天文学と幾何学のロウンディーン教授となり、1936年から1970年までその地位に就いた。ホッジはDPMMS （英語版 ） ロンドン王立協会 のフェローに選出される。
ホッジは1958年から1970年までケンブリッジのペンブルック・カレッジ の学長であり、1959年から1965年まで王立協会 の副会長だった。ホッジは1959年ナイト爵位を授けられた。その他の栄誉としては、1937年Adams賞 （英語版 ） コプリメダル を受け取った。
ホッジは1975年7月7日ケンブリッジ にて死去した。
ホッジの指数定理 （英語版 ） 代数曲面 上の曲線に対する交点数 理論の結果である。定理は、対応する二次形式 の符号を決定する。この結果は、代数幾何学のイタリア学派 （英語版 ） レフシェッツ の位相幾何学的手法により証明された。
調和積分の理論と応用[ 7] ラプラシアン 理論の一つのケーラー計量 の存在と共に始まる。それは、射影空間 自体がそのような計量を伴うため、(複素、射影、非特異を仮定した)代数多様体 Vに応用される。ド・ラームコホモロジー の用語では、次数kのコホモロジー類はあるk -form α on V(C )により表現される。唯一の代表系はないが、調和形式のアイデアを導入することにより(ホッジはそれにもかかわらずそれらを「integrals」と呼んだ)、それらはラプラス方程式 の解となり、唯一のαが得られる。これは、（正則微分 dzi とその複素共役により張られた余接空間である）αを組み立てるために固定したdzi の数字p によれば、
H k C ), C )を部分空間
H p ,q に分裂させる重要で即座に従う結果である。その部分空間の次元はホッジ数 である。
このホッジ分解 は基本的なツールである。次元hp ,q ベッチ数 を洗練させるだけでなく、ホッジ分解それ自身が複素ベクトル空間における変化する「フラグ」として、モジュライ問題 に関連した意味を持つ。広い言い方をすれば、ホッジ理論は代数多様体の離散的・連続的双方の分類に貢献するのである。
他の人々によるさらなる発展は、特異多様体上の混合ホッジ構造 （英語版 ） エタールコホモロジー との深いアナロジーに到った。
「中間の」空間Hp ,p ホッジ予想 は一般の場合、まだ未解決である。この予想は、クレイ数学研究所 により提起された七つのミレニアム問題 の一つである。
ホッジは、ダニエル・ペドウ （英語版 ） エリ・カルタン が「指数のらんちき騒ぎ(the debauch of indices)」と呼んだ事柄を描写している。アティヤ によれば、これはH.F. ベイカー （英語版 ）
1929年ホッジは、キャスリーン・アン・キャメロンと結婚した[ 5]
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^ Hodge biography - University of St Andrews ^ a b Atiyah, M. F. (1976). “William Vallance Douglas Hodge. 17 June 1903 -- 7 July 1975”. Biographical Memoirs of Fellows of the Royal Society 22 : 169–192. doi :10.1098/rsbm.1976.0007 .
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^ Edinburgh and Leith Post Office Directory 1903-4
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