数学 における媒介変数 （ばいかいへんすう）、助変数 （英 : auxiliary variable ）、補助変数 、母数 、径数 、あるいはパラメータ （英 : parameter [ 注 1] 変数 （主変数）に対して補助的に用いられる変数である。
各分野において特定の意味で用いられることもあるが、一般に「パラメータ」は特定の系を決定し、分類し、あるいは特徴付ける助けとなる量を言う。
媒介変数はそれが変化したときの系の振る舞いを見るという意味で「変数」と見ることもできるが、対照的に主変数の変化に伴う系の振る舞いを調べたい場合などでは、しばしば補助変数は（「値を取り換えることができる」という意味で値は任意にとれるけれども）「定数」として扱われる。
パラメータは系の同定（あるいは、状態や振る舞いの評価、条件の特定など）に際して有用あるいは重大な役割を果たす系の要素となるものである。
函数 を定義することには、一つまたは複数の変数 を、独立変数 として指定することが含まれる。補助変数を含む形で函数を定義することもできるが、ふつう補助変数はその函数のとる引数としてはリストしない。補助変数を含めて考えるとき、実際には一つの函数ではなく函数の族 の全体を定めているのだと考えなければならない。例えば、一般の二次函数 を
f
(
x
)
:=
a
x
2
+
b
x
+
c
{\displaystyle f(x):=ax^{2}+bx+c}
x であり、a, b, c は（a がゼロでないという条件を満たす）「任意定数」である。この「任意定数」 a, b, c の値を一つ決めるごとに個々の特定の二次函数が決定されると考えることができるという意味で、a, b, c はこの二次函数の族のパラメータである。二次函数のグラフ を描いたとき、パラメータ a が放物線 の形を決定しており、パラメータは個々の二次函数を特徴付ける量である。
函数がパラメータに依存して決まることを陽に表すために、パラメータを函数名に含めてることができる。例えば、底 b -の対数 を定義するのに定義式として
log
b
-->
(
x
)
:=
log
-->
(
x
)
log
-->
(
b
)
{\displaystyle \log _{b}(x):={\frac {\log(x)}{\log(b)}}}
b は今どの対数が用いられているかを指し示すパラメータである。このパラメータは対数函数の引数ではなく、例えば微分 (logb x )′ = d(logb x )/dx を考えるときなどには「定数」として扱われる。
厳密さを要しない場面では、慣習的な手段として（あるいは歴史的経緯から）函数の定義に現れるすべての記号をパラメータと呼ぶこともあるが、函数の定義においてどの記号を変数と見るかパラメータと見るかという選択を変えれば、その函数がどのような数学的対象であるかということ自体も変化しうる。例えば下降階乗冪
n
k
_ _ -->
:=
n
(
n
− − -->
1
)
(
n
− − -->
2
)
⋯ ⋯ -->
(
n
− − -->
k
+
1
)
{\displaystyle n^{\underline {k}}:=n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)}
k を定数（パラメータ）と見るとき）n を変数とする多項式函数 を定義するが、（n をパラメータとして止めるとき）k を変数とする多項式函数ではない（実際、少なくとも非負整数しか引数に取れない）。このような状況をより厳密に言い表すには、典型的には（パラメータとしたい記号まで全部変数として扱った）多変数の函数
(
n
,
k
)
↦ ↦ -->
n
k
_ _ -->
{\displaystyle (n,k)\mapsto n^{\underline {k}}}
カリー化 などを用いてより少ない変数を持つ函数を定義することになる。
パラメータを含む函数の全体をひとつの「パラメータ付けられた族」(parametric family ), すなわち函数の添字付けられた族と見ることはしばしば有用である。
解析幾何学 において曲線 は区間 I から適当な空間（例えば
R
2
{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
連続写像 f により与えられる。この写像 f は径数付曲線と呼ばれる[ 1] 1 の円は
f
:
[
0
,
2
π π -->
]
→ → -->
R
2
:
t
↦ ↦ -->
(
cos
-->
t
,
sin
-->
t
)
{\displaystyle f:[0,2\pi ]\to \mathbb {R} ^{2}:t\mapsto (\cos t,\sin t)}
1 の円は三角関数 の恒等式
cos
2
-->
t
+
sin
2
-->
t
=
1
{\displaystyle \cos ^{2}t+\sin ^{2}t=1}
t を消去すれば
x
2
+
y
2
=
1
{\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}
陰関数 表示（陰伏関係式）と呼ばれる。
連続写像により写される終域 が位相群 で、径数の加法が群の構造を保つ とき一径数群 （英語版 ）
解析学 において、補助変数に依存する積分をしばしば考える。例えば
F
(
t
)
=
∫ ∫ -->
x
0
(
t
)
x
1
(
t
)
f
(
x
;
t
)
d
x
{\displaystyle F(t)=\int _{x_{0}(t)}^{x_{1}(t)}f(x;t)\,dx}
t は左辺の函数 F の引数であるが、同時に右辺の積分がそれに依存してきまるという意味でパラメータである。右辺の積分の評価に際して t は一貫して「定数」として扱われる（つまり、その意味ではパラメータであると考えるべきである）。しかし F が t の異なる値に対して値をどう変えるかを知りたいならば t は変数として扱われなければならない。なお x は「積分変数」と呼ばれる見かけの変数 (dummy variable ) である（これも紛らわしいことに積分のパラメータと呼ぶことがある）。
論理学 において開述語 (open predicate ) に引き渡される（あるいは、開述語が引数にとる）項を「パラメータ」と呼び、その述語の中で局所的に定義されるパラメータを「変項」と呼び分ける場合がある[ 注 2] 自由変数 と束縛変数 とを区別するという手段をとる。
何らかの対象を数式を用いてモデル化 する際に、対象を表現する量はパラメータと呼ばれる。
例えば動力学 において対象の運動 は運動方程式 によってモデル化されるが、質点 の運動であればその質量 が、剛体 の運動であれば質量に加えて寸法、形状が、流体 の運動であれば密度 や粘性係数 などが運動方程式を特徴付けるパラメータとして現れる。
例えばバネ とダンパー に接続された質量の運動は
x
¨ ¨ -->
+
2
τ τ -->
x
˙ ˙ -->
+
ω ω -->
0
2
x
=
F
m
{\displaystyle {\ddot {x}}+{\frac {2}{\tau }}{\dot {x}}+\omega _{0}^{2}x={\frac {F}{m}}}
としてモデル化される。この力学系を特徴付けるパラメータは時定数 τ と固有振動数 ω 0
^ 「傍らの」「補助の」を意味する古 希 : παρά- (para -) + 「測るもの」を意味する 希 : μέτρον (metron ) から来ている
^ 例えば Prawitz , "Natural Deduction"; Paulson , "Designing a theorem prover"
![{\displaystyle f:[0,2\pi ]\to \mathbb {R} ^{2}:t\mapsto (\cos t,\sin t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b3bec89e8a41651f1adbb91abee854a9c0a883d)
