原文と比べた結果、この記事には多数の（または内容の大部分に影響ある）誤訳 があることが判明しています。情報の利用には注意してください。 正確な表現に改訳できる方を求めています。
志村多様体 （Shimura variety）とは代数多様体であってモジュラー曲線 の高次元化とみなせるような整数論で重要な対象である。有理数体上の簡約代数群 の合同部分群 （英語版 ） エルミート対称空間 （英語版 ） ヒルベルトモジュラ曲面 （英語版 ） ジーゲルモジュラ多様体 （英語版 ）
志村多様体ははじめ志村五郎 により虚数乗法 論の一般化の中で導入された。志村は解析的に定義されたその多様体が数論的な対象であることを示した。すなわち、志村多様体は反射体 とよばれる数体 の上定義される。1970年代に、ピエール・ドリーニュ (Pierre Deligne)は、志村の仕事の公理的なフレームワークを作り出した。同時期にロバート・ラングランズ (Robert Langlands)は、ラングランズ・プログラム の文脈において、モチーフ的L-函数 （英語版 ） 保型形式のL-函数 の対応のある例を志村多様体が作り上げることに注目した。志村多様体のコホモロジー の中に現れる保型形式 は、一般的な保型形式よりも研究しやすい。たとえば、保型形式に対応するガロア表現 を構成することができる。
S = ResC /R m を複素数 から実数 への乗法群のヴェイユの制限 （英語版 ） [ 1] 代数群 であり、群は R -点で、S(R ) は C * で、C -点の群は C * ×C * である。志村データ (Shimura datum)は、有理数 体 Q 上で定義された簡約代数群 G と、次の公理を満たす群準同型 h : S → GR R )-共役類 X からなるペア (G, X) である。
X の任意の h でウェイト(weight)が (0,0), (1,−1), (−1,1) のものは、gC リー代数 は下記の直和に分解する。
g
⊗
C
=
k
⊕
p
+
⊕
p
−
,
{\displaystyle {\mathfrak {g}}\otimes \mathbb {C} ={\mathfrak {k}}\oplus {\mathfrak {p}}^{+}\oplus {\mathfrak {p}}^{-},}
ここに、任意の z ∈ S に対して、h(z) は最初の加える数に自明に作用し、
z
/
z
¯
{\displaystyle z/{\bar {z}}}
z
¯
/
z
{\displaystyle {\bar {z}}/z}
h(i) の随伴作用はカルタン対合 （英語版 ） R GR Q 上に定義された要素 H を持たない。 これらの公理から X は一意な複素多様体 の構造（離散的でもよい）を持ち、全ての表現 ρ: GR ホッジ構造 の正則な族をなし、さらに、ホッジ構造の変形を形成し、X はエルミート対称空間 （英語版 ）
A ƒ を Q のアデール環 とする。十分に小さなコンパクトな G(A ƒ ) の開部分集合 K に対して、両側コセット （英語版 ）
S
h
K
(
G
,
X
)
=
G
(
Q
)
∖
X
×
G
(
A
f
)
/
K
{\displaystyle Sh_{K}(G,X)=G(\mathbb {Q} )\backslash X\times G(\mathbb {A} _{f})/K}
は、Γ \ X+ の形をした局所対称多様体 （英語版 ） 連結成分 を表している。多様体 ShK (G,X') は複素代数多様体で、それらは十分に小さなコンパクト開部分空間 K のすべてに対し、函手として逆極限 [ 2]
(
S
h
K
(
G
,
X
)
)
K
{\displaystyle (Sh_{K}(G,X))_{K}}
は、自然に右作用 G(A ƒ ) が作用する。これを志村データ (G, X) に関する志村多様体 といい、Sh(G, X) で表す。
エルミート対称空間の特別なタイプと合同群 Γ に対し、
Γ
∖
X
=
S
h
K
(
G
,
X
)
{\displaystyle \Gamma \backslash X=Sh_{K}(G,X)}
代数多様体 とそのバイリー・ボレルのコンパクト化 （英語版 ） 志村五郎 の論文で導入された。後日、彼のモノグラフとして出版されているが、志村のアプローチは、虚数乗法 論の相反法則の最大限の一般化を追求する研究で、現象的にも広い範囲に及ぶ。時代は遡るが、「志村多様体」と言う命名はピエール・ドリーニュ (Pierre Deligne)が導入し、彼は志村理論の中で独立した抽象的な形をしている部分の研究を推し進めた。ドリーニュの定式化では、志村多様体はホッジ構造 のあるタイプのパラメータ空間である。このようにして、彼らは、レベル構造を持つ楕円曲線 のモジュライ空間 がそうであったように、モジュラ曲線の自然に高次元への一般化を作り出した。多くの場合、志村多様体が解であるようなモジュライ問題は同一視することができる。
F を総実な数体とし、D を F 上の四元数 の斜体 とする。乗法群 D× は標準的な志村多様体を引き起こす。その次元 d は D が分解する無限の座(place)の数である。特に、d = 1 （例えば、F = Q や D ⊗ R ≅ M2 (R )）のとき、D× の十分小さな算術的部分群 （英語版 ） 射影的 ）。
明らかに方程式が知られている志村曲線の例は、以下の括弧の中の種数のフルヴィッツ曲線 （英語版 ）
と、次数 7 のフェルマー曲線 （英語版 ） [ 3]
志村多様体の他の例は、ピカールモジュラ曲面 （英語版 ） ヒルベルト・ブレメンタール多様体 （英語版 ）
各々の志村多様体は、反射体 と言われる標準的な数体 E の上に定義することができる。志村多様体は解析的に（すなわち複素多様体として）定義されるが、このことから数論的な重要性を持っていることが示唆される。志村多様体は相互法則の志村による定式化の出発点を形成し、そこで特殊点 とよばれる点が数論的に重要な役割を担う。
志村多様体上の特殊点の集合のザリスキー閉包 の性質は、アンドレ・オールト予想 （英語版 ） 一般化されたリーマン予想 を前提として、条件付きの結果としてこの予想が得られる。[ 4]
志村多様体はラングランズ・プログラム の中で際立った役割を果たす。典型的な定理として、アイヒラー・志村の合同関係式 があり、これはモジュラー曲線のハッセ・ヴェイユのゼータ函数 が、明示的にあたえられるウェイト 2 のモジュラ形式 のL-函数の積であることを意味している。実際、この定理の一般化の過程で、志村五郎はこの多様体を導入し、彼の相反法則を証明した。他の数体上の群 GL2 およびその内部形式（つまり四元数の乗法群）からさだまる志村多様体のゼータ函数は、アイヒラー(Eichler)、志村、久賀、伊原により研究された。彼らの結果を基礎として、ロバート・ラングランズ (Robert Langlands)は次の予想を立てた。ある数体上に定義された任意の代数多様体 W のハッセ・ヴェイユのゼータ函数は、保型形式のL-函数の積となるのではないだろうか、すなわち、保型表現 の集まりから発生するはずである。しかし、このタイプの記述は哲学的な性質であるが、W が志村多様体のときは証明されている。[ 5]
「
志村多様体に付随する全てのL-函数が - 従って、志村多様体によって定義されたモチーフが、- [彼の1970年の論文の意味での]保型形式のL-函数で表現可能であるということは、全てのモチーフのL-函数が保型形式のL-函数であるということを示すことに比べ、格段に弱い。しかも、より強い命題は、そこでは、有効であると期待されているにもかかわらず、今まで私の知る限り、全てのモチーフのL-函数が志村多様体にひもづけられていると期待する理由は見当たらない。[ 6]
」
^ L/k を体の有限拡大とし、X を L 上に定義された代数多様体とする。k-スキーム (schemes)op から集合への函手
R
e
s
L
/
k
X
{\displaystyle \mathrm {Res} _{L/k}X}
R
e
s
L
/
k
X
(
S
)
=
X
(
S
×
k
L
)
.
{\displaystyle \mathrm {Res} _{L/k}X(S)=X(S\times _{k}L).}
R
e
s
L
/
k
X
{\displaystyle \mathrm {Res} _{L/k}X}
k-有理点 は、X の L-有理である。この函手を表現 （英語版 ）
R
e
s
L
/
k
{\displaystyle \mathrm {Res} _{L/k}}
ヴェイユの制限 (Weil restriction)と言う。
^ カテゴリ論の中で、射影極限 に相当する。「逆極限」という用語を用いた．
^ Elkies, section 4.4 (pp. 94–97) in (Levy 1999 ).
^ http://people.math.jussieu.fr/~klingler/papiers/KY12.pdf ^ 評価：多くの例が知られていて、志村多様体から「来た」という意味は、少し抽象的な意味となっている．
^ at p. 3.
Alsina, Montserrat; Bayer, Pilar (2004), Quaternion orders, quadratic forms, and Shimura curves , CRM Monograph Series, 22 , Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 0-8218-3359-6 , Zbl 1073.11040 James Arthur, David Ellwood, and Robert Kottwitz (ed) Harmonic Analysis, the Trace Formula and Shimura Varieties ISBN 978-0-8218-3844-0
Pierre Deligne, Travaux de Shimura. Séminaire Bourbaki, 23ème année (1970/71), Exp. No. 389, pp. 123–165. Lecture Notes in Math., Vol. 244, Springer, Berlin, 1971. MR 0498581 , Numdam
Pierre Deligne, Variétés de Shimura: interprétation modulaire, et techniques de construction de modèles canoniques, in Automorphic forms, representations and L-functions , Proc. Sympos. Pure Math., XXXIII (Corvallis, OR, 1977), Part 2, pp. 247–289, Amer. Math. Soc., Providence, R.I., 1979. MR 0546620
Pierre Deligne, James S. Milne, Arthur Ogus, Kuang-yen Shi, Hodge cycles, motives, and Shimura varieties. Lecture Notes in Mathematics, 900. Springer-Verlag, Berlin-New York, 1982. ii+414 pp. ISBN 3-540-11174-3 MR 0654325
Levy, Silvio, ed. (1999), The eightfold way 35 , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-66066-2 , MR 1722410 , Zbl 0941.00006 , http://www.msri.org/communications/books/Book35/index.html , paperback edition by Cambridge University Press, 2001, ISBN 978-0-521-00419-0 . Read This: The Eightfold Way, reviewed by Ruth Michler . Milne, J.S. (2001), “Shimura variety” , in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics ISBN 978-1-55608-010-4 , https://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Shimura_variety J. Milne, Shimura varieties and motives , in U. Jannsen, S. Kleiman. J.-P. Serre (ed.), Motives , Proc. Symp. Pure Math, 55:2, Amer. Math. Soc. (1994), pp. 447–523
J. S. Milne , Introduction to Shimura varieties , in Arthur, Ellwood, and Kottwitz (2005)Harry Reimann, The semi-simple zeta function of quaternionic Shimura varieties , Lecture Notes in Mathematics, 1657, Springer, 1997
Goro Shimura, The Collected Works of Goro Shimura (2003), vol 1–5
Goro Shimura Introduction to Arithmetic Theory of Automorphic Functions
Information related to 志村多様体
