等式 P (A ∩B ) = P (A |B )P (B )決定木 による図示。 条件付き確率 （じょうけんつきかくりつ、英 : conditional probability ）は、ある事象 B が起こるという条件下での別の事象 A の確率 のことをいう。条件付き確率は P (A |B )P B A )P (A |B )B が起こったときの A の（条件付き）確率」「条件 B の下での A の確率」などと表現される。なお英文においては通例、“probability of A given B ” または “probability of A under the condition B ” と表現される。
A および B を事象とし、P (B ) > 0B における A の条件付き確率は
P
-->
(
A
∣ ∣ -->
B
)
=
P
-->
(
A
∩ ∩ -->
B
)
P
-->
(
B
)
{\displaystyle \operatorname {P} (A\mid B)={\frac {\operatorname {P} (A\cap B)}{\operatorname {P} (B)}}}
あるいは
P
-->
(
A
∩ ∩ -->
B
)
=
P
-->
(
A
∣ ∣ -->
B
)
P
-->
(
B
)
{\displaystyle \operatorname {P} (A\cap B)=\operatorname {P} (A\mid B)\operatorname {P} (B)}
により定義される。
上記の定義では P(B) = 0 の場合 P(A|B) は未定義である。しかしながら、そのような事象に対して完全加法族 の観点から条件付き確率を定義することは可能である。
例えば、X と Y は退化分布 ではない連続同時分布 ƒX,Y (x,y) に従う確率変数であるとする。B が正の測度を持つ場合、以下が成立する。
P
-->
(
X
∈ ∈ -->
A
∣ ∣ -->
Y
∈ ∈ -->
B
)
=
∫ ∫ -->
y
∈ ∈ -->
B
∫ ∫ -->
x
∈ ∈ -->
A
f
X
,
Y
(
x
,
y
)
d
x
d
y
∫ ∫ -->
y
∈ ∈ -->
B
∫ ∫ -->
x
∈ ∈ -->
R
f
X
,
Y
(
x
,
y
)
d
x
d
y
{\displaystyle \operatorname {P} (X\in A\mid Y\in B)={\frac {\int _{y\in B}\int _{x\in A}f_{X,Y}(x,y)\,dx\,dy}{\int _{y\in B}\int _{x\in \mathbb {R} }f_{X,Y}(x,y)\,dx\,dy}}}
しかし B の測度が 0 の場合が問題である。B = {y0 } の場合、単一点を表現しているが、条件付き確率は以下になる。
P
-->
(
X
∈ ∈ -->
A
∣ ∣ -->
Y
=
y
0
)
=
∫ ∫ -->
x
∈ ∈ -->
A
f
X
,
Y
(
x
,
y
0
)
d
x
∫ ∫ -->
x
∈ ∈ -->
R
f
X
,
Y
(
x
,
y
0
)
d
x
,
{\displaystyle \operatorname {P} (X\in A\mid Y=y_{0})={\frac {\int _{x\in A}f_{X,Y}(x,y_{0})\,dx}{\int _{x\in \mathbb {R} }f_{X,Y}(x,y_{0})\,dx}},}
この方法はボレル-コルモゴロフのパラドックス （英語版 ） i が 0 に近づく場合、どのように 0 に近づくかに依存する。
P
-->
(
X
∈ ∈ -->
A
∣ ∣ -->
Y
∈ ∈ -->
⋃ ⋃ -->
i
[
y
i
,
y
i
+
δ δ -->
y
i
]
)
≊ ≊ -->
∑ ∑ -->
i
∫ ∫ -->
x
∈ ∈ -->
A
f
X
,
Y
(
x
,
y
i
)
d
x
δ δ -->
y
i
∑ ∑ -->
i
∫ ∫ -->
x
∈ ∈ -->
R
f
X
,
Y
(
x
,
y
i
)
d
x
δ δ -->
y
i
{\displaystyle \operatorname {P} (X\in A\mid Y\in \bigcup _{i}[y_{i},y_{i}+\delta y_{i}])\approxeq {\frac {\sum _{i}\int _{x\in A}f_{X,Y}(x,y_{i})\,dx\,\delta y_{i}}{\sum _{i}\int _{x\in \mathbb {R} }f_{X,Y}(x,y_{i})\,dx\,\delta y_{i}}}}
2つのランダム な事象 A と B は
P
-->
(
A
∩ ∩ -->
B
)
=
P
-->
(
A
)
P
-->
(
B
)
{\displaystyle \operatorname {P} (A\cap B)=\operatorname {P} (A)\operatorname {P} (B)}
のとき、またそのときに限り独立である。あるいは独立な事象 A と B については
P
-->
(
A
∣ ∣ -->
B
)
=
P
-->
(
A
)
{\displaystyle \operatorname {P} (A\mid B)=\operatorname {P} (A)}
かつ
P
-->
(
B
∣ ∣ -->
A
)
=
P
-->
(
B
)
{\displaystyle \operatorname {P} (B\mid A)=\operatorname {P} (B)}
である。言い換えれば、A と B が独立ならば、条件 B の下での A の条件付き確率は A の周辺分布 に等しく、また同様に条件 A の下での B の条件付き確率は B の周辺確率に等しい。
2つの事象 A , B A ⋂ B A と B は互いに排反 (mutually exclusive) であるという。排反事象の積は空事象となるため、その積事象の確率はゼロである。つまり、空事象 ∅ についていつでも
P
-->
(
∅ ∅ -->
)
=
0
{\displaystyle \operatorname {P} (\varnothing )=0}
であるから、
A
∩ ∩ -->
B
=
∅ ∅ -->
⟹ ⟹ -->
P
-->
(
A
∩ ∩ -->
B
)
=
0
{\displaystyle A\cap B=\varnothing \implies \operatorname {P} (A\cap B)=0}
が成り立つ。したがって条件付き確率の定義 より、事象 A , B 周辺 ）確率がゼロでない場合、A , B P (A | B )P (B | A )
A
∩ ∩ -->
B
=
∅ ∅ -->
∧ ∧ -->
P
-->
(
B
)
≠ ≠ -->
0
⟹ ⟹ -->
P
-->
(
A
∣ ∣ -->
B
)
=
P
-->
(
A
∩ ∩ -->
B
)
P
-->
(
B
)
=
0.
{\displaystyle A\cap B=\varnothing \land \operatorname {P} (B)\neq 0\implies \operatorname {P} (A\mid B)={\frac {\operatorname {P} (A\cap B)}{\operatorname {P} (B)}}=0.}
上述の通り排反事象の積の確率および条件付き確率はゼロとなるが、その逆は成り立たない。このことは確率ゼロの空でない事象の存在によって示される。例えば [0, 1) の実数 からランダムに1つを選ぶ場合、A = {x | x ≤ 0.5}B = {x | x ≥ 0.5}P (A ∩ B ) = P ({x | x = 0.5}) = 0[0, 1) から 0.5 未満の数が、あるいは 0.5 以上の数が選ばれることはある程度期待できたとしても、選ばれた数が 0.5 であることはほとんど確実に期待できない）、積事象自体は A ∩ B = {x | x = 0.5}A と B は排反ではない。
ある事象 B に対して P (B ) ≠ 0A に対して、Q (A ) = P (A |B )Q は確率測度 である。
条件付き確率は決定木 やベン図 によりわかりやすく表示できる。
同時確率 （英 : simultaneous probability ）または結合確率 （英 : joint probability ）は、複数の事象がどちらも起こる確率をいう（時間的に同時という意味ではない）。A と B の同時確率を P (A ∩ B )P (A , B )
周辺確率 （英 : marginal probability ）は、他の事象にかかわりなく1つの事象だけの確率をいう（普通の条件なしの確率と等しい）。周辺確率は同時確率を不要な事象に関して合計（または一般に積分）すれば得られる。A の周辺確率は P (A )B の周辺確率は P (B )k 次元確率変数 の部分集合 である k - 1
ただし、以上の2つの事象 A と B の間には時間関係または因果関係はなくてもよく、どんな関係であってもよいことに注意されたい。例えばベイズ推定 で用いられる事後確率 とは、ある根拠を条件として、その原因となった（時間的にも以前の）事象を推測した確率をいう。
確率に条件を付けるということは、別の（あるいは新たな）情報 を考慮して確率を改訂することであり、数学的にはベイズの定理 で示される。
![{\displaystyle \operatorname {P} (X\in A\mid Y\in \bigcup _{i}[y_{i},y_{i}+\delta y_{i}])\approxeq {\frac {\sum _{i}\int _{x\in A}f_{X,Y}(x,y_{i})\,dx\,\delta y_{i}}{\sum _{i}\int _{x\in \mathbb {R} }f_{X,Y}(x,y_{i})\,dx\,\delta y_{i}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2acdc9d0608aaf521ac44594955fcc8415c7baf1)
